Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 31 стр.

   6. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений


    6.1 Метод Эйлера
    Множество задач, как физических, так и вычислительных, могут быть сведены
к решению дифференциального уравнения с начальными условиями – к задаче
Коши. Рассмотрим ОДУ первого порядка:
     y ′( x ) = f (x, y (x ))
    
     y (0 ) = y0                                                                   (6.1.1)
     x ∈ [0, X ]
    

    Здесь f (x, y ) произвольная функция, скомбинированная из x и y .
    Численные схемы для решения этой задачи могут быть получены разными
способами. Будем рассматривать только сеточные методы, то есть такие, в которых
бесконечное          множество          значений непрерывного     аргумента   x   подменяется
конечным дискретным множеством значений {xi } . Такая подмена имеет аналогию в
виде представления вещественных чисел в компьютере и необходима, поскольку
невозможно оперировать бесконечным числом значений. Расстояние между любыми
двумя ближайшими точками xi будем считать одинаковым и равным h . Такая сетка
называется           однородной.              Кроме   сеточных   методов   существуют     еще
квазинепрерывные методы, в которых решение y (x ) представляется в виде суммы
конечного числа непрерывных функций. Например, используя условие задачи
Коши, можно записать её решение в виде ряда Тейлора.
    Сеточные методы имеют наибольшее практическое применение, из-за простоты
их реализации и анализа.
    Рассмотрим три способа построения вычислительной схемы для (6.1.1).
    Во-первых, можно использовать конечно-разностную аппроксимацию первой
производной:


     y(x + h ) − y(x )
                       + O(h ) = f ( x, y )                                         (6.1.2)
            h



                                                        31