Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

33
неустойчивым методам решения. Отметим без доказательства, что явный метод
Эйлера устойчив для любых ОДУ вида (6.1.1), т.е. безусловно устойчив.
Задание 6.1.1
Численные методы решения ОДУ можно применить к вычислению функций. Для этого надо
построить соответствующее вычисляемой функции ОДУ. Например, требуется вычислить
функцию
2
x
ey
−
=
на отрезке от 0 до 1. Дифференцируя, получим
xyxey
x
22
2
−=−=
′
−
. Значит
( )
xyyxf 2, −=
, начальное условие
1
0
=y
. Метод Эйлера будет выглядеть:
hyxyy
y
iiii
2
1
1
0
−=
=
+
В результате работы метода Эйлера мы получим значения функции
2
x
ey
−
=
,
протабулированной на отрезке
[ ]
1,0
с шагом
h
.
Построить самостоятельно ОДУ для функций:
( )
xtgy =
( )
xerf
y =
Пронаблюдать порядок аппроксимации метода, сравнить с теоретическим.
6.2 Предиктор-корректор и семейство методов Рунге-Кутты
При выводе формулы метода Эйлера уже упоминалось, что интегрирование
дифференциального уравнение с использованием квадратур высокого порядка
точности позволит получить более точные методы решения ОДУ. Рассмотрим
применение квадратур трапеций
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )
3
,,
2
, hOhxyhxfxyxf
h
dxxyxfxyhxy
hx
x
++++==−+
∫
+
(6.2.1)
Сразу заметен недостаток такого способа – искомое значение
( )
hxy +
задано
неявно, требуется решать уравнение, чтобы его найти. Попробуем обойти это
препятствие. Введем функцию «предиктор»:
( ) ( ) ( )
yxhfxyhxy ,* +=+
(6.2.2)
Поскольку вид предиктора совпадает с формулой Эйлера, можно утверждать: 
неустойчивым методам решения. Отметим без доказательства, что явный метод
Эйлера устойчив для любых ОДУ вида (6.1.1), т.е. безусловно устойчив.


     Задание 6.1.1
     Численные методы решения ОДУ можно применить к вычислению функций. Для этого надо
построить соответствующее вычисляемой функции ОДУ. Например, требуется вычислить

функцию y = e − x на отрезке от 0 до 1. Дифференцируя, получим y ′ = −2 xe − x = −2 xy . Значит
                       2                                                                             2




f ( x, y ) = −2 xy , начальное условие y0 = 1 . Метод Эйлера будет выглядеть:

     y0 = 1
     yi +1 = yi − 2 xi yi h

     В    результате          работы         метода   Эйлера       мы     получим       значения   функции   y = e−x ,
                                                                                                                    2




протабулированной на отрезке [0,1] с шагом h .
     Построить самостоятельно ОДУ для функций:
     y = tg ( x )
     y = ln (1 + x )
     y = erf ( x )
     Пронаблюдать порядок аппроксимации метода, сравнить с теоретическим.




     6.2 Предиктор-корректор и семейство методов Рунге-Кутты


     При выводе формулы метода Эйлера уже упоминалось, что интегрирование
дифференциального уравнение с использованием квадратур высокого порядка
точности позволит получить более точные методы решения ОДУ. Рассмотрим
применение квадратур трапеций
                            x+h
     y(x + h ) − y(x ) =      ∫ f (x, y(x ))dx = 2 ( f (x, y(x )) + f (x + h, y(x + h))) + O(h )
                                                 h                                           3
                                                                                                         (6.2.1)
                              x


     Сразу заметен недостаток такого способа – искомое значение y (x + h ) задано
неявно, требуется решать уравнение, чтобы его найти. Попробуем обойти это
препятствие. Введем функцию «предиктор»:
     y * ( x + h ) = y ( x ) + hf ( x, y )                                                               (6.2.2)
     Поскольку вид предиктора совпадает с формулой Эйлера, можно утверждать:
                                                                  33

Страницы