Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 34 стр.

       y(x + h ) − y * (x + h ) = O h 2   ( )                                                      (6.2.3)
      Посмотрим, на какую величину ∆ изменится правая часть (6.2.1) при замене
y ( x + h ) на y * ( x + h ) :

       ∆=
             h
               [ f (x + h, y(x + h )) − f (x + h, y * (x + h ))]                                   (6.2.4)
             2
      Правая часть равенства (6.2.4) может быть представлена через определенный
интеграл:
                y ( x+h )

                    f y′ ( x + h, y )dy
          h
          2 y*(∫x + h )
       ∆=                                                                                          (6.2.5)

      который, в свою очередь, может быть оценен, например, квадратурой
центральных прямоугольников:
             h           y(x + h ) + y * (x + h )                                     3 
       ∆=      f  x + h,
             2 
                                                    ( y ( x + h ) − y * ( x + h )) + O h   ( )   (6.2.6)
                                      2                                                   
      Откуда, учитывая (6.2.3), получаем:
             h           y (x + h ) + y * (x + h )          3 
       ∆=      f  x + h,
             2 
                                                         2
                                                                  ( ) ( )
                                                     O h + O h  = O h
                                                                        3
                                                                                     ( )           (6.2.7)
                                       2                        

      То есть замена y (x + h ) на y * (x + h ) не ухудшает порядок аппроксимации
формулы (6.2.1). Это значит, что для нахождения y (x + h ) по известному y (x ) можно
использовать последовательность из двух формул:
        y * ( x + h ) = y ( x ) + hf ( x, y )
       
                                                                                                  (6.2.8)
                                  h
                                                                                      ( )
        y ( x + h ) = y ( x ) + 2 ( f ( x, y ( x )) + f ( x + h, y * ( x + h ))) + O h
                                                                                         3




      Вторая формула из этой последовательности называется корректором, а сам
метод – методом прогноза и коррекции.
      Переходя к сеточным обозначениям:
        yi +1 * = yi + hf ( xi , yi )
       
                                                                                                  (6.2.9)
        yi +1 = yi + 2 ( f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 ))
                       h


      Конечно, предиктор и корректор может быть получен и с помощью замены
интеграла в (6.2.1) квадратурой центральных прямоугольников. В этом случае
получится последовательность формул:




                                                                            34