Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

36
( ) ( ) ( ) ( )
0...000
)(
..
s
hhhh
ϕϕϕϕ
==
′′
=
′
=
(6.2.14)
Значение
( )
0
ϕ
должно быть равно нулю автоматически, этого требует условие
сходимости метода.
Порядок аппроксимации одиночной формулы
1+s
на единицу больше порядка
аппроксимации
s
в правой точке решения, он не имеет простой зависимости от
числа выражений
q
. Для порядка аппроксимации до 4 включительно
qs =
, а для
построения метода пятого порядка точности потребуется уже
6=q
.
Рассмотрим построение метода Рунге Кутты для случая
2=q
.
Конечное выражение метода Рунге-Кутты:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
2221
,,
+
+++=+
s
hOyxhfpyxhfpxyhxy
(6.2.15)
где
(6.2.16)
Заметим, что при
0=h
:
xx =
2
yy =
2
(6.2.17)
А также что:
( ) ( )
hxyhxy
xh
+
′
=+
′
(6.2.18)
При
0=h
:
( ) ( ) ( )
yxfxyhxy
xx
,=
′
=+
′
(6.2.19)
Функция ошибки:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2221
,, yxfpyxfphxyhxyh +−−+=
ϕ
(6.2.20)
Находим производные:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
′
+−+−+
′
=
′
h
xh
yxfpyxfphyxfpyxfphxyh
22212221
,,,,
ϕ
( ) ( ) ( )( )
0,,0
21
=+−=
′
ppyxfyxf
h
ϕ
(6.2.21)
Получаем первое условие на числовые параметры:
01
21
=−− pp
(6.2.22)
Вторая производная: 
    ϕ (0) = ϕ h′ (0) = ϕ hh
                         ′′ (0 ) = ... = ϕ h( ..s ) (0 )                                                     (6.2.14)
    Значение ϕ (0) должно быть равно нулю автоматически, этого требует условие
сходимости метода.
    Порядок аппроксимации одиночной формулы s + 1 на единицу больше порядка
аппроксимации s в правой точке решения, он не имеет простой зависимости от
числа выражений q . Для порядка аппроксимации до 4 включительно s = q , а для
построения метода пятого порядка точности потребуется уже q = 6 .
    Рассмотрим построение метода Рунге Кутты для случая q = 2 .
    Конечное выражение метода Рунге-Кутты:
                                                                    ( )
     y ( x + h ) = y ( x ) + p1hf ( x, y ) + p2 hf ( x2 , y 2 ) + O h s +1                                   (6.2.15)
    где
    x2 = x + α 2 h
                                                                                                             (6.2.16)
     y 2 = y + β 2,1hf ( x, y )

    Заметим, что при h = 0 :
    x2 = x

     y2 = y                                                                                                  (6.2.17)
    А также что:
     y h′ ( x + h ) = y ′x ( x + h )                                                                         (6.2.18)
    При h = 0 :
     y ′x ( x + h ) = y ′x ( x ) = f ( x, y )                                                                (6.2.19)
    Функция ошибки:
    ϕ (h ) = y (x + h ) − y (x ) − h( p1 f (x, y ) + p2 f (x2 , y 2 ))                                       (6.2.20)
    Находим производные:

    ϕ h′ (h ) = y ′x (x + h ) − ( p1 f (x, y ) + p2 f (x2 , y 2 )) − h( p1 f (x, y ) + p2 f (x2 , y 2 ))h′

    ϕ h′ (0) = f ( x, y ) − f (x, y )( p1 + p2 ) = 0                                                         (6.2.21)
    Получаем первое условие на числовые параметры:
    1 − p1 − p2 = 0                                                                                          (6.2.22)
    Вторая производная:




                                                                         36

Страницы