Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 37 стр.

                  ′′ ( x + h ) − 2( p1 f ( x, y ) + p2 f (x2 , y2 ))h′ −
       ′′ (h ) = yhh
     ϕ hh
                                           ″
     − h( p1 f ( x, y ) + p2 f (x2 , y2 ))h =
                                                                           ′                                                        (6.2.23)
     = f h′( x + h, y ( x + h )) − 2 p2α 2 f x′2 ( x2 , y2 ) + p2 ( y2 )h f y′2 ( x2 , y2 ) −
                                                                                             
                                              ″
     − h( p1 f ( x, y ) + p2 f ( x2 , y2 ))hh

     Найдем ( y 2 )h′

     ( y2 )h′ = β 2,1 (k1 )h′ = β 2,1 f (x, y )                                                                                     (6.2.24)
     Подставим (6.2.24) в (6.2.23):
       ′′ (h ) = f h′( x + h, y ( x + h )) − 2( p2α 2 f x′2 ( x2 , y 2 ) + p2 β 2,1 f ( x, y ) f y′2 (x2 , y 2 )) − h(...)hh ″ =
     ϕ hh
     = f x′(x + h, y ( x + h )) + y h′ f y′ ( x + h, y ( x + h )) − 2( p2α 2 f x′2 ( x2 , y 2 ) + p2 β 2,1 f ( x, y ) f y′2 (x2 , y 2 )) − h(...)hh =
                                                                                                                                                   ″

     = f x′( x + h, y ( x + h )) + f ( x + h, y ( x + h )) f y′ (x + h, y (x + h )) −
                                                                                      ″
     − 2 p 2α 2 f x′2 (x2 , y 2 ) − 2 p2 β 2,1 f (x, y ) f y′2 (x2 , y 2 ) − h(...)hh

                                                                                                                                    (6.2.25)
     Рассмотрим условие ϕ h′′(0) = 0 :
       ′′ (0 ) = f x′ + ff y′ − 2 p2α 2 f x′ − 2 p2 β 2,1 ff y′ = f x′(1 − 2 p2α 2 ) + ff y′ (1 − 2 p2 β 2,1 ) = 0
     ϕ hh                                                                                                                           (6.2.26)
     Понятно, что в общем случае оно выполняется, если:
     1 − 2 p2α 2 = 0

     1 − 2 p2 β 2,1 = 0                                                                                                             (6.2.27)
     В итоге, для построения метода Рунге-Кутты второго порядка аппроксимации
требуется решить систему нелинейных уравнений:
     1 − p1 − p2 = 0
     
     1 − 2 p2α 2 = 0                                                                                                               (6.2.28)
     1 − 2 p β = 0
            2 2 ,1


     Эта система имеет множество решений. Так, для p1 = p2 = 1 / 2 , α 2 = 1 , β 2,1 = 1
получится метод (6.2.9), а для p1 = 0 , p2 = 1 , α 2 = 1 / 2 , β 2,1 = 1 / 2 получим (6.2.10). Оба
метода имеют второй порядок аппроксимации, по системе уравнений (6.2.28) можно
получить и другие варианты метода.
     Видно, что даже в случае q = 2 вывод последовательности формул методов
Рунге-Кутты получается довольно громоздкий. Описанная выше схема, сводящая
задачу построения методов Рунге-Кутты к решению систем нелинейных уравнений,

                                                                             37