Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 35 стр.

    
     yi +1 / 2 * = yi + f (xi , yi )
                        h
                       2                                                       (6.2.10)
     yi +1 = yi + hf ( xi +1 / 2 , yi +1 / 2 *)



    Задание 6.2.1
    Повторить задание 6.1.1 с использованием методов прогноза и коррекции.


    Замена интеграла в (6.2.1) может быть сделана квадратурной формулой сколь
угодно большого порядка аппроксимации, и, таким образом, могут быть получены
последовательности формул сколь угодно высокого порядка точности. Все
полученные таким образом методы решения ОДУ, а также метод Эйлера,
составляют семейство методов Рунге-Кутты.
    Общий вид методов Рунге-Кутты (без вывода):
    k1 (h ) = hf ( x, y )
    k (h ) = hf (x + α h, y + β k (h ))
     2                    2          2 ,1 1

    .
    
    .                                                                          (6.2.11)
    k (h ) = hf (x + α h, y + β k (h ) + .. + β k (h ))
     q                    q          q ,1 1         q , q −1 q −1

    
                                                    ( )
                               q
     y (x + h ) = y (x ) + ∑ pi k i (h ) + O h
                                                s +1

                            i =1


    где α 2 ,..,α q , p1 ,.., pq , β i, j , 0 < j < i ≤ q - некоторые числовые параметры, не
зависящие от решаемого уравнения. Они выбираются из соображений максимально
высокого порядка аппроксимации s + 1 одиночной формулы.
    Сделаем выбор числовых параметров. Введем обозначение для приближенного
решения:
                               q
    z (h ) = y (x ) + ∑ pi k i (h )                                             (6.2.12)
                           i =1


    Запишем погрешность аппроксимации ϕ как функцию от h :
    ϕ (h ) = y (x + h ) − z (h )

    Если потребовать от метода порядок точности s , это означает, что в ряде
Тейлора:
                ∞
                      ϕ (i ) (0)
    ϕ (h ) = ∑                     hi                                           (6.2.13)
               i =1       i!

    все слагаемые со степенями до s включительно равны нулю. Тогда:
                                                               35