Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

32
Тогда, используя начальное условие
( )
0
0 yy =
, можно последовательно найти
значения функции во всех точках
{ }
i
x
:
( ) ( ) ( )
( )
2
, hOyxhfxyhxy ++=+
(6.1.3)
или
( )
iiii
yxhfyy ,
1
+=
+
(6.1.4)
Во вторых, тот же результат можно получить, раскладывая
( )
xy
в ряд Тейлора в
окрестности
x
:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
22
,
...,
2
1
,...
2
1
hOyxhfxy
hyxfyxhfxyhxyhxyxyhxy
x
++=
=+
′
++=+
′′
+
′
+=+
(6.1.5)
И в третьих, исходное уравнение можно проинтегрировать на малом отрезке
h
:
( ) ( ) ( )(
)
∫
+
=−+
hx
x
dxxyxfx
yhxy ,
(6.1.6)
Для интеграла в правой части можно использовать какой-либо метод
приближенного интегрирования, например, квадратурную формулу левых
прямоугольников:
( ) ( ) ( )( )
( )
2
, hOhxyxfxyhxy +=−+
(6.1.7)
Откуда мы вновь приходим к выражению (6.1.4).
Заметим, что использование квадратур для вычисления интеграла в правой
части (6.1.6) позволяет строить методы любого порядка точности.
Мы получили тремя различными способами явный метод Эйлера для решения
задачи Коши. Порядок аппроксимации одиночной формулы – второй, однако, по той
же причине, что и при переходе от одиночных квадратур к составным, при решении
методом Эйлера (6.1.7) погрешность аппроксимации
( )
xy
в точке
Xx =
будет
( )
hO
.
Далее, когда будет упоминаться порядок аппроксимации метода, будет
подразумеваться именно погрешность аппроксимации
( )
xy
в точке
Xx =
.
Вычислительная схема метода Эйлера реализует рекуррентные вычисления.
Как было показано в примере Главы 5, рекуррентные вычисления могут приводить к 
    Тогда, используя начальное условие y (0) = y0 , можно последовательно найти
значения функции во всех точках {xi } :
                                               ( )
     y ( x + h ) = y ( x ) + hf ( x, y ) + O h 2                                                                        (6.1.3)
    или
     yi +1 = yi + hf ( xi , yi )                                                                                        (6.1.4)
    Во вторых, тот же результат можно получить, раскладывая y (x ) в ряд Тейлора в
окрестности x :

     y ( x + h ) = y ( x ) + y ′( x )h +     y ′′( x )h 2 + ... = y ( x ) + hf (x, y ) + f x′(x, y )h 2 + ... =
                                           1                                            1
                                           2                                            2                               (6.1.5)
     = y (x ) + hf (x, y ) + O h   ( )
                                    2




    И в третьих, исходное уравнение можно проинтегрировать на малом отрезке h :
     x+h             x+h

     ∫ y′(x )dx =
      x
                      ∫ f (x, y(x ))dx
                      x

                            x+h
     y(x + h ) − y(x ) =     ∫ f (x, y(x ))dx                                                                           (6.1.6)
                             x


    Для интеграла в правой части можно использовать какой-либо метод
приближенного               интегрирования,                     например,             квадратурную                формулу    левых
прямоугольников:
                                                   ( )
     y ( x + h ) − y ( x ) = f ( x, y ( x ))h + O h 2                                                                   (6.1.7)
    Откуда мы вновь приходим к выражению (6.1.4).
    Заметим, что использование квадратур для вычисления интеграла в правой
части (6.1.6) позволяет строить методы любого порядка точности.
    Мы получили тремя различными способами явный метод Эйлера для решения
задачи Коши. Порядок аппроксимации одиночной формулы – второй, однако, по той
же причине, что и при переходе от одиночных квадратур к составным, при решении
методом Эйлера (6.1.7) погрешность аппроксимации y (x ) в точке x = X будет O(h ) .
Далее,     когда           будет           упоминаться               порядок           аппроксимации               метода,   будет
подразумеваться именно погрешность аппроксимации y (x ) в точке x = X .
    Вычислительная схема метода Эйлера реализует рекуррентные вычисления.
Как было показано в примере Главы 5, рекуррентные вычисления могут приводить к

                                                                          32

Страницы