Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 40 стр.

верхнетреугольной, затем к диагональной, и, как завершающий этап, к единичной.
Все операции, производимые над оборачиваемой матрицей, в точности повторяются
со вспомогательной единичной матрицей. В итоге, вспомогательная матрица будет
содержать обратную матрицу, а на месте исходной будет единичная.


     Задание 7.1.1
     Реализовать алгоритм Гаусса для нахождения обратной матрицы                                        Aˆ −1 произвольной
размерности n . Строки и столбцы матрицы считать пронумерованными от 1 до n . Элементы
исходной матрицы Ai , j = 1 / (i + j − 1) . Оценить число арифметических операций как функцию от n .




     7.2 LU-разложение
     Алгоритм Гаусса можно разбить на два этапа. Матрицу Â представим как
произведение двух матриц частного вида:
      Aˆ = Lˆ Uˆ                                                                                              (7.2.1)
     где L̂ - нижнедиагональная матрица, т.е. такая матрица, у которой все элементы
выше главной диагонали равны нулю, а Û - верхнедиагональная матрица с
единичной главной диагональю.
     Для матриц L̂ и Û легко найти соответствующие обратные матрицы с
помощью метода Крамера, поскольку детерминанты и все алгебраические
дополнения будут содержать лишь по одному слагаемому, составленному из
произведения элементов главной диагонали. Обратная матрица Aˆ −1 тогда будет
равна:
      Aˆ −1 = Uˆ −1 Lˆ−1                                                                                      (7.2.2)
     Рассмотрим детально произведение Lˆ Uˆ на частном примере матрицы n = 4 :
      l11 0          0     0      1 u12    u13      u14 
                                                         
      l21 l22        0     0      0 1      u 23     u 24 
     l                            0 0                      =
           l         l33    0                  1       u34 
      31 32                                              
     l
      41 l 42       l 43   l 44  0 0      0        1 
                                                                                                              (7.2.3)
        l11    l11u12                    l11u13                             l11u14                 
                                                                                                   
       l    l u +l                  l21u13 + l22 u 23                l21u14 + l 22 u 24            
     =  21 21 12 22
         l   l u +l              l31u13 + l32 u 23 + l33          l31u14 + l32 u 24 + l33u34 
        31 31 12 32                                                                                
       l
        41 l 41u12 + l 42       l 41u13 + l 42 u 23 + l 43   l 41u14 + l 42 u 24 + l 43u34 + l 44 


                                                                           40