Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 42 стр.

     1 u12        u13    u14  x11    x12     x13    x14   *      0 0 0
                                                                        
    0 1           u 23   u 24  x21   x22     x23    x24   *      * 0 0
                                                             =                                   (7.2.9)
    0 0            1     u34  x31    x32     x33    x34   *      * * 0
                                                                        
    0 0
                   0      1  x41   x42     x43    x44   *    * * * 

    Звездочками обозначены числа, не играющие роли в нахождении обратной
матрицы.
    Из структуры перемножаемых матриц можно видеть способ нахождения
элементов обратной матрицы. Посмотрим на произведение четвертой строки и
четвертого столбца в верхнем уравнении (7.2.9):
     x44 l 44 = 1 , x44 = 1 / l 44                                                               (7.2.10)
    Далее на произведение четвертой строки и третьего столбца:
     x43l33 + x44 l 43 = 0 , x43 = − x44 l 43 / l33                                              (7.2.11)
    Четвертой строки и второго столбца:
     x42 l 22 + x43l32 + x44 l 42 = 0 , x42 = −( x43l32 + x44 l 42 ) / l 22                      (7.2.12)
    Четвертой строки и первого столбца:
     x41l11 + x42 l 21 + x43l31 + x44 l 41 = 0 , x41 = −( x42 l 21 + x43l31 + x44 l 41 ) / l11   (7.2.13)
    Теперь нам известна 4-я строка обратной матрицы.
    Далее рассмотрим произведение третьей строки и четвертого столбца в нижнем
уравнении (7.2.9):
     x34 + u34 x44 = 0 , x34 = −u34 x44                                                          (7.2.14)
    Второй строки на четвертый столбец:
     x24 + u 23 x34 + u 24 x44 = 0 , x24 = −(u 23 x34 + u 24 x44 )                               (7.2.15)
    Первой строки на четвертый столбец:
     x14 + u12 x24 + u13 x34 + u14 x44 = 0 , x14 = −(u12 x24 + u13 x34 + u14 x44 )               (7.2.16)
    В итоге мы нашли четвертую строку и четвертый столбец обратной матрицы.
Далее процесс можно повторять, пока не будет найдена вся обратная матрица. В
итоге, для построения обратной матрицы по известным матрицам L̂ и Û нужно
выполнить следующую рекурсивную последовательность действий:
    Для i = n,..,1 :
             1       n
                                 
     xii =       1 − ∑ xik l ki 
             lii  k =i +1       

                                                                       42