Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 44 стр.

арифметических операций. Впрочем, этот недостаток может оказаться не таким уж
значительным, поскольку в любом случае мы получаем матрицу с элементами,
точность которых ограничена вычислительной погрешностью.
     Рассмотрим метод простой итерации. В его основе лежит идея о том, что
алгебра матриц почти не отличается от алгебры вещественных чисел (кроме
некоммутативности умножения). Операцию обращения матрицы можно представить
посредством операции деления.
            1       1
     Aˆ −1 = =
            ˆA Eˆ − Eˆ − Aˆ   (    )                                                                        (7.3.1)

     Вводя матрицу Bˆ = Eˆ − Aˆ , используем разложение в ряд Тейлора:

     Aˆ −1 =
                 1
               E−B
               ˆ   ˆ
                                                        (       (       (           )))
                     = Eˆ + Bˆ + Bˆ 2 + Bˆ 3 + ... = Eˆ Eˆ + Bˆ Eˆ + Bˆ Eˆ + Bˆ (...)                       (7.3.2)

     аналогичное разложению в ряд Тейлора функции:
            ∞
       1
          = ∑ xk                                                                                            (7.3.3)
     1 − x k =1

     в окрестности нуля.
     В частном случае матриц с размерностью единица мы имеем именно ряд (7.3.3).
     То есть операцию обращения матрицы можно свести к бесконечной
последовательности операций сложения и умножения матриц.
     Вводя начальное приближение R̂0 для обратной матрицы Rˆ = Aˆ −1 получаем
формулу метода простой итерации:
     Rˆ k +1 = Eˆ + Bˆ Rˆ k                                                                                 (7.3.4)


     Задание 7.3.1
     Реализовать алгоритм нахождения обратной матрицы Aˆ −1 произвольной размерности n с
использованием                метода   простой        итерации.         Строки          и   столбцы   матрицы   считать
пронумерованными от 1 до n . Элементы исходной матрицы Ai , j = 1 / (i + j − 1) . Оценить число

итераций, которые требуются для нахождения элементов обратной матрицы с точностью 3-х
знаков после запятой. Проделать эту оценку для разных n .


     В методе простой итерации может потребоваться большое число итераций и,
соответственно, много времени на достижение результата. Сходимость ряда (7.3.2)

                                                                     44