Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

45
будет полностью определяться свойствами матрицы
B
ˆ
, и, в общем случае, не
каждая матрица
B
ˆ
будет давать быстро сходящийся ряд (7.3.2). Развитием метода
простой итерации является метод минимальных невязок или метод Шульца.
Идея метода Шульца состоит в получении степенного ряда, аналогичного
(7.3.2), но по такой матрице
ψ
ˆ
, для которой ряд быстро сходится.
Для этого в методе Шульца, на каждой итерации
k
вводится невязка
k
ψ
ˆ
:
kk
RAE
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
−=
ψ
(7.3.5)
Невязкой она называется потому, что обращается в ноль при
1
ˆ
ˆ
−
= AR
k
. По мере
приближения
k
R
ˆ
к обратной матрице невязка будет приближаться к нулевой
матрице.
Рассмотрим выражение:
1
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
...
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
−
−
==+++=
−
AR
RA
E
E
k
k
kk
k
ψψ
ψ
(7.3.6)
Умножим обе части слева на
k
R
ˆ
и получим тождество:
(7.3.7)
То есть, получено разложение в ряд по уменьшающемуся параметру
k
ψ
ˆ
.
Обычно, ограничиваются только линейным слагаемым в ряде (7.3.7). В
результате формулы метода Шульца выглядят:
kk
RAE
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
−=
ψ
( )
kkk
ERR
ψ
ˆ
ˆˆˆ
1
+=
+
(7.3.8)
Почему в подавляющем большинстве случаев достаточно ограничиваться
линейным слагаемым в ряде (7.3.7), предлагается выяснить в следующем задании.
Задание 7.3.2
Реализовать алгоритм нахождения обратной матрицы
1
ˆ
−
A
произвольной размерности
n
с
использованием метода Шульца. Элементы исходной матрицы
( )
1/1
,
−+= jiA
ji
. Оценить число
итераций, которые требуются для нахождения элементов обратной матрицы с точностью 3-х
знаков после запятой. Проделать эту оценку для разных
n
. Сравнить с методом простой итерации. 
будет полностью определяться свойствами матрицы B̂ , и, в общем случае, не
каждая матрица B̂ будет давать быстро сходящийся ряд (7.3.2). Развитием метода
простой итерации является метод минимальных невязок или метод Шульца.
     Идея метода Шульца состоит в получении степенного ряда, аналогичного
(7.3.2), но по такой матрице ψˆ , для которой ряд быстро сходится.
     Для этого в методе Шульца, на каждой итерации k вводится невязка ψˆ k :

     ψˆ k = Eˆ − Aˆ Rˆ k                                                            (7.3.5)

     Невязкой она называется потому, что обращается в ноль при Rˆ k = Aˆ −1 . По мере

приближения R̂k к обратной матрице невязка будет приближаться к нулевой
матрице.
     Рассмотрим выражение:
       1                                 1        −1
             = Eˆ +ψˆ k +ψˆ k2 + ... =      = Rˆ k Aˆ −1                            (7.3.6)
     E −ψˆ k
     ˆ                                 ˆ
                                       ARkˆ

     Умножим обе части слева на R̂k и получим тождество:
                 (                    )
     Aˆ −1 = Rˆ k Eˆ +ψˆ k +ψˆ k2 + ...                                             (7.3.7)
     То есть, получено разложение в ряд по уменьшающемуся параметру ψˆ k .
     Обычно, ограничиваются только линейным слагаемым в ряде (7.3.7). В
результате формулы метода Шульца выглядят:
     ψˆ k = Eˆ − Aˆ Rˆ k

                  (
     Rˆ k +1 = Rˆ k Eˆ +ψˆ k   )                                                    (7.3.8)
     Почему в подавляющем большинстве случаев достаточно ограничиваться
линейным слагаемым в ряде (7.3.7), предлагается выяснить в следующем задании.


     Задание 7.3.2
     Реализовать алгоритм нахождения обратной матрицы Aˆ −1 произвольной размерности n с
использованием метода Шульца. Элементы исходной матрицы Ai , j = 1 / (i + j − 1) . Оценить число

итераций, которые требуются для нахождения элементов обратной матрицы с точностью 3-х
знаков после запятой. Проделать эту оценку для разных n . Сравнить с методом простой итерации.




                                                           45

Страницы