Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 47 стр.

       Задание 8.1.1
       Реализовать простейший алгоритм поиска экстремума перебором значения функции

         (
F (α ) = 1 + (α − 0.5)    )
                         2 −1
                                в узлах сетки. Оценить среднее время работы алгоритма для различных h .



       Гораздо          более          эффективные     методы      получаются       из      рассмотрения
эквивалентной задачи решения нелинейного уравнения:
       ∂F
          = f (α ) = 0                                                                          (8.1.1)
       ∂α
       Рассмотрим метод половинного деления (дихотомии).
       Если на участке поиска экстремума содержится только один экстремум, то
 ( )
f αL         и    ( )
                 f αR       должны иметь разные знаки, а точка                 f (α ) = 0   должна быть
единственной. В этом случае мы можем разделить отрезок [α L ,α R ] пополам и из
двух получившихся отрезков выбрать тот, на границах которого функция f (α ) снова
имеет разные знаки. Далее процесс половинного деления можно повторять до тех
пор, пока ширина получившегося отрезка (ему будет принадлежать корень
уравнения (8.1.1)) не станет меньше наперед заданной точности.


       Задание 8.1.2

       Реализовать алгоритм дихотомии для поиска экстремума функции F (α ) = 1 + (α − 0.5)  (              )
                                                                                                          2 −1
                                                                                                                 .
Оценить среднее время работы алгоритма для различных значений погрешности.


       Рассмотрим метод Ньютона (касательных).
       В этом методе выбирается начальное приближение α 0 к корню уравнения
(8.1.1), затем функция f (α ) аппроксимируется в окрестности точки α 0 прямой
линией:
       f (α ) ≈ f (α 0 ) + f ′(α 0 )(α − α 0 )                                                  (8.1.2)
       Эта прямая будет являться касательной к графику функции f (α ) в точке α 0 .
       Далее находится следующее приближение α1 как корень уравнения:
       f (α 0 ) + f ′(α 0 )(α 1 − α 0 ) = 0

                    f (α 0 )
       α1 = α 0 −                                                                               (8.1.3)
                    f ′(α 0 )


                                                           47