Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 49 стр.

                                                   ∂s 2                    ∂s 2
       Будем находить α1 из уравнения                   = 0 , затем α 2 из      = 0 и т.д. Перебрав все
                                                   ∂α 1                    ∂α 2

переменные, снова вернемся к α1 . Будем повторять этот процесс циклически, до тех
пор,       пока          α >ε          (условие   точности     нахождения       экстремума).         Эта
последовательность действий составляет метод покоординатного спуска. Для
решения одномерных нелинейных уравнений можно использовать как метод
Ньютона, так и метод дихотомии.


       Задание 8.2.1
       Реализовать алгоритм покоординатного спуска для задачи аппроксимации параболой
P( x ) = α 0 + α 1 x + α 2 x 2 функции e − x на отрезке x ∈ [0,1]. Использовать методы Ньютона и
дихотомии для поиска экстремума функции. Оценить среднее время работы алгоритма для
различных методов и различных значений погрешности.


       Метод покоординатного спуска дает очень плохие результаты в случае
коррелирующих параметров модели.
       Метод Ньютона можно применить к системе уравнений (8.2.1) иначе. Подобно
одномерному случаю, рассмотрим линеаризацию уравнений в окрестности
некоторой точки α 0 :
       
           ( )
                     n
                             ( )(
                        ∂f1 α k0 1
                                         )
        1f  α 0
                 + ∑     ∂ α 0
                                 α k − α k0 = 0
                  k =0      k
       
           ( )
                     n
                              ( )(
                        ∂f α 0 1
        f 2 α + ∑ 2 0k α k − α k = 0
               0
                                          )0

                  k =0 ∂α k
       
       .                                                                                  (8.2.2)
       .
       
       
           ( )
                     n
                              ( )(
                        ∂f n α k0 1
                                          )
        fn α + ∑                α k − α k0 = 0
               0

                   k =0 ∂α k
                              0
       
       
       
       Это уже СЛАУ, аппроксимирующая (8.2.1), и ее можно записать в матричном
виде:
                 (           )
       V 0 + Aˆ k a 1 − a 0 = 0                                                            (8.2.3)
       Или, переходя к итерации с номером k :

                     ( )
       a k +1 = a k − Aˆ k
                             −1
                                  Vk                                                       (8.2.4)

                                                         49