Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 51 стр.

    s 2 = (Φ − f , Φ − f ) = ( f , f ) − 2(Φ , f ) + (Φ , Φ )                                                   (8.3.2)
    Наложим условие экстремума как равенство нулю всех частных производных:
    ∂s 2      ∂ (Φ , f ) ∂ (Φ , Φ )
         = −2           +           = 0 , j = 0,.., n                                                           (8.3.3)
    ∂α j        ∂α j        ∂α j

    В свою очередь Φ можно представить как:
               n
    Φ = ∑α kϕ k                                                                                                 (8.3.4)
           k =0


    Тогда:
    ∂ (Φ , f )
               = ( f ,ϕ j )                                                                                     (8.3.5)
      ∂α j

                                        ∂ (Φ , Φ )
                                                                            (Φ , Φ ) = ∑∑α α (ϕ ,ϕ )
                                                                                    n     n
    Чтобы найти                                    , удобно представить                                           в виде
                                           ∂α j
                                                                                                i   j   i   j
                                                                                    j =0 i =0


таблицы:
     α 0α 0 (ϕ 0 ,ϕ 0 ) α 0α 1 (ϕ 0 ,ϕ1 ) .              .
                                                            
     α 0α 1 (ϕ 0 ,ϕ1 ) α 1α 1 (ϕ1 ,ϕ1 )                     
                                                                                                              (8.3.6)
              .                            .
                                                            
    
             .                                           . 

    Тогда, дифференцируя, к примеру, по α1 , можно видеть, что результатом будет
нулевой вклад всех столбцов и строк, кроме 1-х:
    ∂ (Φ , Φ )
               = 2∑α i (ϕ i ,ϕ j )
                    n
                                                                                                                (8.3.7)
       ∂α j       i =0


    Подставляя (8.3.5) и (8.3.7) в (8.3.3), получаем СЛАУ:

    ∑α (ϕ ,ϕ ) = ( f ,ϕ ) ,
     n

           i       i   j            j       j = 0,.., n                                                         (8.3.8)
    i =0


    В матричном виде:
     (ϕ 0 ,ϕ 0 )      (ϕ 0 ,ϕ1 )       .   .  α 0   ( f ,ϕ 0 )
                                                              
     (ϕ 0 ,ϕ1 )       (ϕ1 ,ϕ1 )                α 1   ( f ,ϕ1 )
     .                                 .       .  =  . 
                                                              
     .
                                           .  .   . 

    Γˆ α = F

    α = Γˆ −1 F                                                                                                 (8.3.9)
    Матрица Γ̂ называется матрицей Грама.
    В итоге задача аппроксимации для полиномов сводится к решению СЛАУ или к
нахождению обратной матрицы и ее умножению на вектор.
                                                                       51