Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 41 стр.

    Откуда видно способ нахождения матриц L̂ и Û . Находим первую строку
матрицы Û . Первый столбец матрицы L̂ известен сразу:
    l k ,1 = ak ,1

    k = 1..n                                                                                                          (7.2.4)
    Зная его, можно найти первую строку матрицы Û :
               a1,k
    u1,k =
                l1,1

    k = 2..n                                                                                                          (7.2.5)
    Теперь, зная первый столбец L̂ и первую строку Û , можно найти вторые строку
и столбец.
    Представим                           алгоритм                  LU-разложения                   следующим   образом.   Будем
осуществлять операции над матрицей â , начальными элементами которой являются
элементы оборачиваемой матрицы Â . Будем производить арифметические действия
над элементами aij задавшись целью получить в конечном итоге на месте матрицы â

матрицу, содержащую одновременно L̂ и Û . Для этого осуществим следующую
последовательность действий:
    1) обработка k -й строки, k = 1,.., n − 1
    aik = aik / akk , i = k + 1,.., n                                                                                 (7.2.6)
    2) обработка элементов i, j = k + 1,.., n
    ai , j = ai , j − a k , j ai , k                                                                                  (7.2.7)

    В результате этих действий на месте матрицы â получим матрицу Lˆ + Uˆ − Eˆ .
    Найдем теперь обратную матрицу Aˆ −1 , элементы которой обозначим rij .

Умножим (7.2.2) на L̂ справа и на Û слева. Получим:
     Aˆ −1 Lˆ = Uˆ −1

    UˆAˆ −1 = Lˆ−1                                                                                                    (7.2.8)
    Учтем, что обратные к треугольным матрицы имеют ту же структуру, что и
исходные матрицы. Тогда:
     x11       x12       x13          x14  l11 0          0       0  1        *    *   *
                                                                                          
     x21       x22       x23          x24  l 21 l 22      0       0  0        1    *   *
                                                                           =
    x          x32       x33          x34  l31 l32       l33      0  0        0    1   *
     31                                                                                   
    x
     41        x42       x43          x44  l 41 l 42   l 43    l 44   0   0    0   1 

                                                                                   41