Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 58 стр.

   10. Решение                        дифференциальных         уравнений     в   частных
производных

    Уравнения              в        частных   производных   охватывают   широчайший   круг
практических задач, возникающих в аэро- и гидродинамике, сопротивлении
материалов, физике твердого тела, квантовой механике и т.д.
    В рамках настоящего курса эта часть численных методов представлена очень
кратко, на примере явного и неявного конечно-разностных методов решения
одномерного уравнения теплопроводности без источников тепла и учета фазовых
переходов, с упрощенными граничными условиями.




   10.1. Явная и неявная конечно-разностные схемы для уравнения
теплопроводности


    Запишем уравнение теплопроводности (которое также является уравнением
диффузии):
    ∂T ( x, t )    ∂ 2 T ( x, t )
                =A
      ∂t               ∂x 2
    T ( x,0 ) = T0 ( x )

    x ∈ [0, X ]                                                                  (10.1)
    Здесь A представляет собой единственную числовую величину, которая
определяет эволюцию температурного профиля. В физических задачах A равняется
коэффициенту теплопроводности, деленному на произведение теплоемкости и
плотности.
    Граничные условия будем использовать упрощенные, «нефизичные».
    T (0, t ) = T ( X , t ) = Tb = const                                         (10.2)
    Наша цель – показать ключевые этапы в построении численного метода
решения уравнения теплопроводности, граничные условия здесь не играют роли.
    Самый простой способ численного решения (10.1) – конечно-разностная
аппроксимация производных. Для этого введем двумерную сетку на области

                                                      58