Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

59
решения, с шагами
h
и
τ
по координатам
x
и
t
, соответственно. Узлы сетки по оси
x
будем нумеровать числами
Ni ,..,0=
, а по оси
t
- числами
∞= ,..,0j
. Тогда:
( )
( )
τ
τ
O
TT
t
txT
j
i
j
i
+
−
=
∂
∂
+1
,
( )
( )
2
2
11
2
2
2
,
hO
h
TTT
x
txT
j
i
j
i
j
i
+
+−
=
∂
∂
−+
(10.3)
Конечно-разностный аналог исходного уравнения (10.1):
(10.4)
Или:
2
h
A
τ
λ
=
(10.5)
Это и есть формула явного метода решения уравнения теплопроводности. По
известному температурному профилю рассчитывается температурный профиль в
следующий момент времени. Этот процесс можно повторять сколь угодно долго,
однако необходимо учитывать, что на каждом применении формулы (10.5) вносится
погрешность, связанная с конечно-разностной аппроксимацией производных и
равная
( )
( )
τ
OhO +
2
, или
( )
τ
+
2
hO
.
Задание 10.1
Решить с помощью явного конечно-разностного метода уравнение теплопроводности для
длинного железного стержня с числом узлов по координатной оси 500. В качестве начального
профиля взять такое распределение температур, при котором в одном узле сетки, примерно
посередине стержня температура равна 400К, тогда как в остальных узлах она равна 300К.
Определить в численном эксперименте максимальное
λ
, при котором явный метод остается
устойчивым.
Итак, явный метод не всегда устойчив или, как говорят, условно устойчив.
Исходное уравнение (10.1) можно аппроксимировать иначе:
( )
1
1
11
1
1
2
+
−
++
+
+
+−+=
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
TTTTT
λ
2
h
A
τ
λ
=
(10.6) 
решения, с шагами h и τ по координатам x и t , соответственно. Узлы сетки по оси
x будем нумеровать числами i = 0,.., N , а по оси t - числами j = 0,.., ∞ . Тогда:

      ∂T ( x, t ) Ti j +1 − Ti j
                 =               + O(τ )
        ∂t               τ
      ∂ 2T (x, t ) Ti +j1 − 2Ti j + Ti −j1
         ∂x 2
                  =
                             h 2
                                           + O h2       ( )                      (10.3)

     Конечно-разностный аналог исходного уравнения (10.1):
      Ti j +1 − Ti j          Ti +j1 − 2Ti j + Ti −j1
                       =A                                                        (10.4)
            τ                           h2
     Или:
                          (
      Ti j +1 = Ti j + λ Ti +j1 − 2Ti j + Ti −j1    )
                τ
      λ=A                                                                        (10.5)
                h2
     Это и есть формула явного метода решения уравнения теплопроводности. По
известному температурному профилю рассчитывается температурный профиль в
следующий момент времени. Этот процесс можно повторять сколь угодно долго,
однако необходимо учитывать, что на каждом применении формулы (10.5) вносится
погрешность, связанная с конечно-разностной аппроксимацией производных и
равная O(h 2 ) + O(τ ) , или O(h 2 + τ ) .


     Задание 10.1
     Решить с помощью явного конечно-разностного метода уравнение теплопроводности для
длинного железного стержня с числом узлов по координатной оси 500. В качестве начального
профиля взять такое распределение температур, при котором в одном узле сетки, примерно
посередине стержня температура равна 400К, тогда как в остальных узлах она равна 300К.
Определить в численном эксперименте максимальное λ , при котором явный метод остается
устойчивым.


     Итак, явный метод не всегда устойчив или, как говорят, условно устойчив.
     Исходное уравнение (10.1) можно аппроксимировать иначе:
                          (
      Ti j +1 = Ti j + λ Ti +j1+1 − 2Ti j +1 + Ti −j1+1   )
                τ
      λ=A                                                                        (10.6)
                h2


                                                              59

Страницы