Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 60 стр.

    На первый взгляд, такой подход выглядит нерациональным, потому что T j +1 не

выражается явно через T j . Это и есть неявная конечно-разностная схема для
уравнения теплопроводности, с тем же порядком аппроксимации O(h 2 + τ ) , что и у
явной. Для нахождения следующего температурного профиля придется решать
систему линейных уравнений:
    − λTi +j1+1 + (1 + 2λ )Ti j +1 − λTi −j1+1 = Ti j , i = 1,.., N − 1

    T0 j +1 = TNj +1 = T0 j = TNj = Tb                                                            (10.7)
    Или в матричном виде:
     1      0     0                    .  T0 j +1   T0 j 
                                                    
     − λ 1 + 2λ  −λ                    .  T1 j +1   T1 j 
                                                      =
     0     − λ 1 + 2λ                 − λ  T2j +1   T2j 
                                                    
     .
            .     .                    .  .   . 
           j +1
    Υˆ T          =T   j


        j +1
    T          = Υˆ −1T    j
                                                                                                  (10.8)
    То есть необходимо до решения задачи один раз (в нашем случае) найти
матрицу, обратную к Yˆ . Матрица Yˆ                                       имеет частный вид, она называется
трехдиагональной. Для оборачивания таких, частного вида матриц, которые также
возникают в задачах интерполяции функций, существует метод прогонки.
Фактически, это алгоритм Гаусса, в котором исключена большая часть заведомо
ненужных операций и сложность алгоритма сведена к O(N + 1) . Кроме этого, такое
сокращение числа операций для матриц большого размера значительно уменьшает
эффект накопления вычислительной погрешности.
    Рассмотрим метод прогонки применительно к разностной схеме (10.6), (10.7).
    Сделаем подстановку:
    Ti −j1+1 = ci −1Ti j +1 + ϕ i −1 , i = 1..N

    TN = Tb                                                                                       (10.9)
    Тогда (10.7) приобретает вид:
    − λTi +j1+1 + (1 + 2λ − λci −1 )Ti j +1 = Ti j + λϕ i −1                                      (10.10)
    Или:
                        λ                     T j + λϕ i −1
    Ti j +1 =                     Ti +j1+1 + i                                                    (10.11)
                  1 + 2λ − λci −1           1 + 2λ − λci −1

                                                                          60