Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 62 стр.

получены также аналитическим путем. Рассмотрим метод, применение которого
выходит далеко за рамки частной численной задачи об уравнении теплопроводности
– спектральный метод (СМ) анализа устойчивости.
     Идея СМ очень проста. Любая функция, являющаяся решением (10.1) может
быть разложена в ряд Фурье. Если конечно-разностная схема устойчива, то она
должна быть устойчива по отношению к каждой компоненте ряда Фурье. При этом
действие конечной разности (10.5), (10.6) на одну компоненту ряда Фурье не меняет
её вид, а лишь сводится к умножению на число, равно как и действие оператора
второй производной в (10.1). Рассмотрим подробнее, сначала для явной схемы
(10.5):
     Ti j = e iωxi , Ti j +1 = Ce iωxi                                                                                 (10.2.1)
     Подставим (10.2.1) в (10.5):
                             (                             )                (                                   )
     Ce iωxi = e iωxi + λ e iωxi +1 − 2e iωxi + e iωxi −1 = e iωxi + λ e iω ( xi + h ) − 2e iωxi + e iω ( xi − h ) =
                                                                                                                       (10.2.2)
                         (
     = e iωxi + λe iωxi e iωh − 2 + e −iωh     )
     Сокращая e iωx , получаем C :
                             i




                                                                                         ωh
                  (                      )
     C = 1 + λ e iωh − 2 + e −iωh = 1 + λ (2 cos ωh − 2 ) = 1 − 4λ sin 2
                                                                                           2
                                                                                                                       (10.2.3)

     Чтобы разностная схема была устойчивой, должно выполняться C ≤ 1 для
любого ω . В противном случае вес соответствующей компоненты будет возрастать
экспоненциально с числом итераций, а само решение станет неустойчивым.
     Тогда:
                        ωh 
     − 1 ≤ 1 − 4λ sin 2     ≤1                                                                                       (10.2.4)
                         2 

     Или:
             2 ωh
     4λ sin 2 ≥ 0
                                                                                                                      (10.2.5)
      4λ sin 2 ωh ≤ 2
               2

     Первое неравенство в (10.2.5) выполняется всегда. Второе будет выполняться
для любого ω только в случае λ ≤ 1 / 2 . Это и есть условие устойчивости для явной
конечноразностной схемы уравнения теплопроводности, полученное нами в
численном эксперименте при выполнении задания из предыдущей главы.
     Для неявной схемы получим похожее на (10.2.3) уравнение:
                                                                           62