Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 61 стр.

    Но из исходной подстановки:
     Ti j +1 = ciTi +j1+1 + ϕ i                                                 (10.12)
    Откуда, получаем рекуррентные соотношения:
                  λ
     ci =                   , i = 1..N
            1 + 2λ − λci −1

              Ti j + λϕ i −1
    ϕi =                     , i = 1..N
            1 + 2λ − λci −1

     c0 = 0 , ϕ 0 = Tb                                                          (10.13)
    В результате решение СЛАУ (10.7) свелось к двум циклам. В первом находятся
коэффициенты линейной подстановки, при этом двигаемся от элементов с
меньшими номерами к элементам с большими номерами. Во втором цикле, двигаясь
в обратном порядке, находим решение СЛАУ. Из-за такого движения вверх и вниз
по индексам метод прогонки и получил свое название.


    Задание 10.2
    Решить с помощью неявного конечно-разностного метода уравнение теплопроводности для
длинного железного стержня с числом узлов по координатной оси 500. Использовать метод
прогонки. В качестве начального профиля взять такое распределение температур, при котором в
одном узле сетки, примерно посередине стержня температура равна 400К, тогда как в остальных
узлах она равна 300К. Определить в численном эксперименте максимальное λ , при котором
неявный метод остается устойчивым.


    При правильном решении Задания 10.2 должен получиться метод, устойчивый
для любых λ или безусловно устойчивый метод. В этом и заключается смысл
использования неявной схемы, других преимуществ перед явной схемой она не
имеет.




     10.2. Спектральный метод анализа устойчивости


     Полученные в численном эксперименте результаты по устойчивости явной и
неявной конечно-разностной схемы уравнения теплопроводности могут быть

                                              61