Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()()
()( )
()
()( )
()
.173,
3
41
3
41
3
1
3
4
1
1
3
1
43
1
1
1
0
1
0
>+−
+−
−−
=
=
+−
−−
+−
=
+−
−
+
⋅
+−
=
−++−
=
+
∑
∑
∞
=
+
∞
=
iz
iz
i
iz
i
iz
iz
i
iziizz
n
n
nn
n
n
nn
Следовательно, в области
173 >+− iz ряд Лорана функции имеет вид:
()
zf
(
)( )
()
(
)
(
)
()
∑∑
∞
=
+
∞
=
+
+
+−
−−
+
+−
−−
=
−
+
0
1
0
1
1
2
3
21
2
3
41
1
3
n
n
nn
n
n
nn
iz
i
iz
i
z
z
.
Таким образом,
()( )
()
(
)
(
)
()
∑∑
∞
=
+
+
∞
=
+
−
+−−
+
−
+−−
=
+
+
0
1
1
0
12
4
31
2
31
2
1
3
n
n
nn
n
n
nn
i
iz
i
iz
z
z
,
53 <+− iz ,
()( )
()
(
)
(
)
()
∑∑
∞
=
+
∞
=
+
−
+−−
+
+−
−−
=
+
+
0
1
0
12
4
31
3
21
2
1
3
n
n
nn
n
n
nn
i
iz
iz
i
z
z
,
1735 <+−< iz ,
()( )
()
(
)
(
)
()
∑∑
∞
=
+
+
∞
=
+
+−
−−
+
+−
−−
=
+
+
0
1
1
0
12
3
41
3
21
2
1
3
n
n
nn
n
n
nn
iz
i
iz
i
z
z
,
∞<+−< iz 317 .
Задачи для самостоятельного решения. Разложить в ряды Лорана по
степеням z функцию
.
()
zf
6.1
zzz
z
−+
−
23
2
2
6.2
234
2
4
zzz
z
−
+
−
6.3
zzz
z
932
183
23
−+
−
6.4
234
82
162
zzz
z
−
+
−
6.5
zzz
z
2552
505
23
−
+
−
6.6
234
183
363
zzz
z
−
+
−
6.7
zzz
z
4972
987
23
−
+
−
6.8
234
324
644
zzz
z
−
+
−
6.9
zzz
z
8192
1629
23
−
+
−
6.10
234
505
1005
zzz
z
−
+
−
Задачи для самостоятельного решения. Найти все лорановские
разложения данной функции по степеням
0
zz
−
.
17
  1             1                 1                   1         1       ∞
                                                                            (− 1)n (4 − i )n
     =                        =
z + 1 ( z − 3 + i ) + (4 − i ) z − 3 + i
                                         ⋅
                                                      4−i
                                                           =           ∑
                                                             z − 3 + i n = 0 ( z − 3 + i )n
                                                                                             =
                                                 1+
                                                    z −3+i

=∑
   ∞
     (− 1)n (4 − i )n
                       , z −3+i      > 17 .
 n=0 (z − 3 + i )
                  n +1

Следовательно, в области z − 3 + i > 17 ряд Лорана функции f ( z ) имеет вид:
              z+3
                     =∑
                         ∞
                          (− 1)n +1 (4 − i )n
                                                 + 2∑
                                                        (− 1)n (2 − i )n
                                                          ∞
                                                                          .
              z 2 − 1 n =0 ( z − 3 + i )n +1        n=0 (z − 3 + i )
                                                                     n +1

Таким образом,

              z+3
                      = 2∑
                             ∞
                               (− 1)n (z − 3 + i )n           (− 1)n+1 (z − 3 + i )n
                                                              ∞
                                                      +   ∑                                , z −3+i < 5,
               2
              z +1        n =0     (2 − i )n+1            n=0      (4 − i )n +1

              z+3
                    = 2∑
                            (− 1)n (2 − i )n
                             ∞
                                                 +∑
                                                      (
                                                      ∞
                                                       − 1)n ( z − 3 + i )n
                                                                             , 5 < z − 3 + i < 17 ,
                       n =0 ( z − 3 + i )                   (4 − i )n+1
                                          n +1
              z2 +1                               n=0

              z+3
                    = 2∑
                        ∞
                            (− 1)n (2 − i )n
                                                 +∑
                                                   ∞
                                                      (− 1)n +1 (4 − i )n
                                                                            , 17 < z − 3 + i < ∞ .
                       n =0 ( z − 3 + i )               (            )
                                          n +1                         n +1
              z2 +1                               n=0     z − 3 +  i

      Задачи для самостоятельного решения. Разложить в ряды Лорана по
степеням z функцию f ( z ) .

                   z−2                                                        z−4
        6.1                                                       6.2
              2z 3 + z 2 − z                                            z 4 + z 3 − 2z 2

                    3 z − 18                                                 2 z − 16
        6.3                                                       6.4
               2 z 3 + 3z 2 − 9 z                                       z 4 + 2 z 3 − 8z 2

                    5 z − 50                                                 3 z − 36
        6.5                                                       6.6
              2 z 3 + 5 z 2 − 25 z                                      z 4 + 3 z 3 − 18 z 2

                    7 z − 98                                                 4 z − 64
        6.7                                                       6.8
              2 z 3 + 7 z 2 − 49 z                                    z 4 + 4 z 3 − 32 z 2
                   9 z − 162                                                5 z − 100
        6.9                                                       6.10 4
              2 z 3 + 9 z 2 − 81z                                       z + 5 z 3 − 50 z 2

      Задачи для самостоятельного решения.                                     Найти         все   лорановские
разложения данной функции по степеням z − z 0 .

                                                                                                            17

Страницы