Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 15 стр.

            1     1 1       1 ∞ 2n       ∞
                                             2n
                        2 z n∑
                = ⋅       =           = ∑ n +1 , z > 2                              (6.5)
           z−2 z                  z n
                                        n=0 z
                     1−        =0
                        z
Следовательно, в кольце 2 < z < 3 ряд Лорана функции f ( z ) имеет вид:
                          ∞              ∞
             2z − 3            zn             2n
         2
                       = −∑     n
                                    −   ∑         n +1
                                                         .
       z − 5z + 6    n =0 3      n =0 z
При z > 3 ряд (6.5) сходится, а ряд (6.4) расходится. Поэтому вместо (6.4)
используем:
                           ∞
         1    1 1              3n
                    3 n∑
            = ⋅        =        n +1
                                     , z > 3.
       z −3 z                 z
                 1−        =0
                    z
Следовательно, в области z > 3 ряд Лорана функции f ( z ) имеет вид:
                 2z − 3        ∞
                                    3 n +1         ∞
                                                             2n
                           =   ∑       n +1
                                              −   ∑          n +1
                                                                    , 3< z <∞.
           z 2 − 5z + 6        n=0 z              n =0 z
Таким образом,
                               ∞
              2z − 3                 1       1  n
                           =   ∑             −   z , z < 2 ,
               z 2 − 5 z + 6 n =0  2 n +1 3 n 
                                 ∞ n        ∞
                   2z − 3            z           2n
                 2
                            = − ∑ n ∑ n+1 , 2 < z < 3 ,
                                         −
               z − 5z + 6       n =0 3     n =0 2
                               ∞ n +1        ∞
                   2z − 3          3              2n
                            =∑            −∑          , 3< z <∞.
               z 2 − 5 z + 6 n =0 z n +1 n =0 z n +1

                                                                                 z+3
       Пример 2. Найти все лорановские разложения функции f ( z ) =                      по
                                                                                 z2 −1
степеням z − 3 + i .

       Решение.

      1 Дробь правильная. Находим корни уравнения z 2 − 1 = 0 . Имеем два
простых корня z1 = −1, z 2 = 1.
      2 Точки z1 = −1 и z 2 = 1 являются особыми точками функции f ( z ) .
Кольца аналитичности функции f ( z ) :
              z −3+i < 5,
       5 < z − 3 + i < 17 ,
           z − 3 + i > 17 .
       3 Представим f ( z ) в виде суммы элементарных дробей:


                                                                                         15