Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 14 стр.

          Замечание. При разложении по степеням z − z 0 предварительно вводим
вспомогательную переменную t = z − z 0 и находим разложения функции
 f (t + z 0 ) по степеням t .

        Пример 1. Разложить в ряды Лорана по степеням                                                                         z функцию
           2z − 3
f (z ) = 2         .
        z − 5z + 6

            Решение.

          1 Дробь правильная. Находим корни уравнения z 2 − 5 z + 6 = 0 . Имеем
два простых корня z1 = 2 и z 2 = 3 .
          2 Точки z1 = 2 и z 2 = 3 являются особыми точками функции f ( z ) (в них
 f ( z ) не аналитична).
Кольца аналитичности функции f ( z ) :
                  z < 2,
                   2 < z < 3,
               z > 3.
       3 Представим f ( z ) в виде суммы элементарных дробей:
             2z − 3       3       1
                      =       −       .
           2
          z − 5z + 6    z − 3   z − 2
       4 В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в
ряды, используя разложения в ряд Тейлора.
При z < 2 имеем:
              1      1 1         1 ∞ zn     ∞
                                                 zn
                  =− ⋅       = − ∑ n = − ∑ n +1 , z < 2                                                                               (6.3)
            z−2      2     z     2 n =0 2  n=0 2
                       1−
                           2
              1      1 1        1 ∞ zn     ∞
                                                zn
                  =− ⋅       = − ∑ n = − ∑ n +1 , z < 3 .                                                                             (6.4)
            z −3     3     z    3 n =0 3  n =0 3
                       1−
                           3
Следовательно, в круге z < 2 ряд Лорана функции f ( z ) имеет вид:
                           ∞                   ∞                   ∞                  ∞                ∞
          2z − 3                zn                 zn                  zn                 zn                1               1  n
      2
                     = −3 ∑        n +1
                                          +   ∑        n +1
                                                              =   ∑        n +1
                                                                                  −   ∑       n
                                                                                                  =   ∑         n +1
                                                                                                                        −      z ,   z <2
     z − 5z + 6           n =0 3              n =0 2              n =0 2              n=0 3           n =0  2              3n 

При 2 < z < 3 ряд (6.3) расходится, а ряд (6.4) сходится. Поэтому вместо (6.3)
используем:




14