Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

6 Ряды Лорана рациональной функции
Постановка задачи. Разложить в ряды Лорана по степеням z
рациональную функцию
()
(
)
()
zQ
zP
zf
m
n
= , где
(
)
zP
n
и
(
)
zQ
m
– многочлены и
.
()
0≠zQ
m
План решения.
1 Если дробь
()
()
zQ
zP
m
n
неправильная, выделяем целую часть.
Находим корни уравнения
(
)
0
=
zQ
m
. Будем предполагать, что все корни
– простые (нумерация по возрастанию их модулей
m
zzz ,...,,
21
m
zzz <<< ...
21
).
2 Точки
являются особыми точками функции (в них
не аналитична).
m
zzz ,...,,
21
()
zf
()
zf
Кольца аналитичности функции
(
)
zf :
,
1
zz <
,
21
zzz <<
……………..
nn
zzz <<
−1
,
n
zz >
3 Представим рациональную дробь в виде суммы элементарных дробей:
()
()
m
m
m
n
zz
A
zz
A
zz
A
zQ
zP
−
++
−
+
−
=
...
2
2
1
1
4 В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в
ряды, используя разложения в ряд Тейлора:
∑
∞
=
=
−
0
1
1
n
n
z
z
, 1
<
z , (6.1)
и в ряд Лорана:
∑
∞
=
+
−=
−
⋅−=
−
0
1
1
1
1
11
1
1
n
n
z
z
zz
, 1>z , (6.2)
Записываем полученные лорановские разложения функции в каждом
кольце аналитичности.
()
zf
13
      6 Ряды Лорана рациональной функции

        Постановка задачи. Разложить в ряды Лорана по степеням z
                              P (z )
рациональную функцию f ( z ) = n      , где Pn ( z ) и Qm ( z ) – многочлены и
                              Qm (z )
Qm (z ) ≠ 0 .

       План решения.

                           Pn ( z )
       1 Если дробь                  неправильная, выделяем целую часть.
                          Qm (z )
Находим корни уравнения Qm ( z ) = 0 . Будем предполагать, что все корни
z1 , z 2 ,..., z m –  простые         (нумерация    по   возрастанию     их  модулей
z1 < z 2 < ... < z m ).
           2 Точки z1 , z 2 ,..., z m являются особыми точками функции f ( z ) (в них
f ( z ) не аналитична).
           Кольца аналитичности функции f ( z ) :
             z < z1 ,
       z1 < z < z 2 ,
       ……………..
       z n −1 < z < z n ,
        z > zn
       3 Представим рациональную дробь в виде суммы элементарных дробей:

                Pn ( z )     A1      A2                Am
                         =       +           + ... +
                Q m ( z ) z − z1 z − z 2             z − zm
       4 В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в
ряды, используя разложения в ряд Тейлора:
                                               ∞
                                     1
                                          = ∑ z n , z < 1,       (6.1)
                                   1 − z n =0
и в ряд Лорана:
                                        ∞
                 1         1 1                 1
                       =− ⋅        = − ∑ n +1 , z > 1 ,          (6.2)
               1− z        z     1           z
                              1−       n = 0
                                 z
Записываем полученные лорановские разложения функции f ( z ) в каждом
кольце аналитичности.




                                                                                  13

Страницы