Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

, (5.2)
где
– параметрическое уравнение кривой
() ()()()
∫∫
′
=
γ
β
α
dttztzfdzzf
()
tzz =
γ
в комплексной форме,
[]
β
α
;∈t .
Пример 1. Вычислить интеграл где
∫
,Im zdzz
γ
– отрезок прямой от
точки 0
до точки .
1
=z iz +=1
2
Решение.
1 Записываем в алгебраической форме:
()
zf
.
() ( )
2
iyxyyiyxzf +=⋅+=
2 Используя формулу (5.1), представляем искомый интеграл в виде
суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций
и v двух вещественных переменных х и у:
()
yxu ,
(
yx,
)
.
∫∫∫
++−=
γγγ
dxyxydyidyyxydxzdzz
22
Im
3 Записываем уравнение отрезка: ,
x
y
=
0 1
≤
≤
x
.
4 Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определенным:
()
i
x
idxxidxxxdxyxydyidyyxydx
3
2
3
2
2
1
0
1
0
1
0
3
22222
==+−=++−
∫∫∫∫
γγ
.
Пример 2. Вычислить интеграл
∫
⋅
γ
dzzz , где
γ
– верхняя полуокружность ,1
=
z 0 с обходом
против часовой стрелки.
Re >z
Решение.
В данном случае удобно воспользоваться уравнением кривой
γ
в
параметрической форме
,
it
ez =
(
)
π
≤
≤
t0 и применить формулу (5.2).
1 Находим
,1, ==
−
zez
it
d
t
iedz
it
=
.
2 Подставляем в (5.2):
∫∫∫
===⋅
−
γ
π
00
iidtdtieedzzz
itit
.
Задачи для самостоятельного решения. Вычислить интегралы от
функций комплексной переменной по заданным кривым.
5.1
;
2
∫
AB
dzz
{
;:
2
xyAB = ,0
=
A
z
}
iz
B
+
=
1
11
                                                           β

                                       ∫ f (z )dz = ∫ f (z (t ))z ′(t )dt ,                                          (5.2)
                                       γ                   α
где z = z (t ) – параметрическое уравнение кривой γ в комплексной форме,
t ∈ [α ; β ] .

       Пример 1. Вычислить интеграл                                        ∫ z Im zdz,         где γ – отрезок прямой от
точки z1 = 0 до точки z 2 = 1 + i .


       Решение.
       1 Записываем f ( z ) в алгебраической форме:
         f ( z ) = ( x + iy ) ⋅ y = xy + iy 2 .
       2 Используя формулу (5.1), представляем искомый интеграл в виде
         суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций
         u ( x, y ) и v( x, y ) двух вещественных переменных х и у:
                                   ∫ z Im zdz = ∫ xydx − y                     dy + i ∫ xydy + y 2 dx .
                                                                           2

                                   γ                       γ                           γ
       3 Записываем уравнение отрезка: y = x, 0 ≤ x ≤ 1 .
       4 Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определенным:
                                                                                                      1
                                                           (           )
                                                       1                           1
                                                              2x 3                                            2
∫                 ∫               ∫              ∫
            2                                   2              2   2                       2
  xydx − y dy + i   xydy + y dx =   x − x dx + i   2 x dx = i                                             =     i.
γ                 γ               0              0
                                                               3                                      0       3

       Пример 2. Вычислить интеграл
       ∫ z ⋅ z dz , где γ – верхняя полуокружность z = 1, Re z > 0 с обходом
        γ
против часовой стрелки.
      Решение.
       В данном случае удобно воспользоваться уравнением кривой γ в
параметрической форме z = e it , (0 ≤ t ≤ π ) и применить формулу (5.2).
      1 Находим z = e −it , z = 1, dz = ie it dt .
      2 Подставляем в (5.2):
                              π                        π
                                       −it
            ∫ z ⋅ z dz = ∫ e                   ie dt = ∫ idt = iπ .
                                                 it

            γ                  0                       0
      Задачи для самостоятельного решения. Вычислить интегралы от
функций комплексной переменной по заданным кривым.

       5.1      ∫z
                     2
                                           {
                         dz; AB : y = x 2 ; z A = 0, z B = 1 + i}
                AB


                                                                                                                       11

Страницы