Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

4.1u 4.2 u
()
00,
22
=+−= fxyx
()
10,13
3
=+−= fxyx
4.3
()
(
)
00,sincos =+= fyxyye
x
v 4.4
()
00,2
22
=−−= fyyxu
4.5
()
20,cos
1
2
=
+
= fy
e
e
x
x
u 4.6
()
if
yx
x
+=
+
= 11,
22
u
4.7v 4.8
()
10,sin =+=
−
fyxe
y
(
)
ifyev
x
+== 10,cos
4.9
()
()
10,
1
2
2
=
++
−= f
yx
y
v
4.10
()
21,
22
=
+
−= f
yx
y
yv
4.11
u 4.12
()
10,cos ==
−
fxe
y
(
)
00,2 =
−
=
fxyyu
4.13
(
)
ifxyx =++−= 0,12
22
v 4.14u
()
10,12
22
=+−−= fxyx
4.15
(
)
00,3
32
=−−= fyyyxv 4.16
(
)
00,2 =
+
=
fyxyv
4.17
v 4.18
()
10,3
32
=−= fyyx
(
)()
00,sincos =−= fyyyxeu
x
4.19
()
00,22 =
+
= fxxyv 4.20
()
ifeyu
x
+=⋅−= 10,sin1
5 Интеграл от функции комплексной переменной
Постановка задачи. Вычислить интеграл
()
,
∫
γ
dzzf где
γ
– кусочно–гладкая кривая, лежащая в области , в которой
функция
непрерывна.
D
()
zf
План решения.
Интеграл от функции
()
(
)
(
)
yxivyxuzf ,,
+
=
, непрерывной в области ,
выражается через криволинейные интегралы второго рода по формуле.
D
(5.1)
()
vdxudyivdyudxdzzf
∫∫ ∫
++−=
γγ γ
1 Записываем
в алгебраической форме:
()
zf
.
()() ()
yxivyxuzf ,, +=
2 Используя формулу (5.1), представляем искомый интеграл в виде
суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций
и v двух вещественных переменных x и y.
()
yxu ,
(
yx,
)
3 Записываем уравнения кривой
γ
в явном виде
()
xyy
=
(или
(
)
yxx
=
)
или параметрически
()
()
=
=
.
,
tyy
txx
4 Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определенным.
Замечание: Можно вычислять интеграл от функции комплексной
переменной по формуле:
10
          4.1u = x 2 − y 2 + x, f (0 ) = 0            4.2 u = x 3 − 3 xy + 1, f (0 ) = 1
          4.3 v = e x ( y cos y + x sin y ), f (0 ) = 0 4.4 u = x 2 − y 2 − 2 y, f (0 ) = 0
                    e 2x + 1                                        x
          4.5 u =              cos y, f (0 ) = 2      4.6 u =             , f (1) = 1 + i
                      ex                                        x2 + y2
          4.7 v = e − y sin x + y, f (0 ) = 1         4.8 v = e x cos y, f (0 ) = 1 + i
                            y                                           y
          4.9 v = −                  , f (0 ) = 1     4.10 v = y − 2           , f (1) = 2
                     (x + 1) + y
                             2    2
                                                                    x +y    2

          4.11u = e − y cos x, f (0 ) = 1             4.12 u = y − 2 xy, f (0 ) = 0
          4.13 v = x 2 − y 2 + 2 x + 1, f (0 ) = i   4.14u = x 2 − y 2 − 2 x + 1, f (0 ) = 1
          4.15 v = 3 x 2 y − y 3 − y, f (0 ) = 0      4.16 v = 2 xy + y, f (0 ) = 0
          4.17 v = 3 x 2 y − y 3 , f (0 ) = 1         4.18 u = e x ( x cos y − y sin y ), f (0 ) = 0
          4.19 v = 2 xy + 2 x, f (0 ) = 0             4.20 u = 1 − sin y ⋅ e x , f (0 ) = 1 + i


        5 Интеграл от функции комплексной переменной

             Постановка задачи. Вычислить интеграл
∫    f ( z )dz , где γ – кусочно–гладкая кривая, лежащая в области D , в которой
γ
функция f ( z ) непрерывна.

      План решения.
      Интеграл от функции f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) , непрерывной в области D ,
выражается через криволинейные интегралы второго рода по формуле.
                     ∫ f (z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ udy +vdx                     (5.1)
                                γ           γ              γ
      1 Записываем f ( z ) в алгебраической форме:
         f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) .
      2 Используя формулу (5.1), представляем искомый интеграл в виде
         суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций
         u ( x, y ) и v( x, y ) двух вещественных переменных x и y.
      3 Записываем уравнения кривой γ в явном виде y = y ( x ) (или x = x( y ) )
                            x = x(t ),
или параметрически 
                            y = y (t ).
      4 Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определенным.

      Замечание: Можно вычислять интеграл от функции комплексной
переменной по формуле:

10

Страницы