Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Задачи для самостоятельного решения. Определить вид кривой,
заданной уравнением
() ()
(
)
,tiytxtz +=
(
)
+
∞
∞
−
∈
;t .
3.1
3.2
()
,2sec3 tgtittz +=
(
)
tshitchtz 2223
+
=
3.3
()
it
it
e
etz
2
1
2 +=
3.4
()
t
t
i
t
tz
−
+
+
−
+
=
2
2
1
11
3.5
()
(
)
44204
22
++−++= ttitttz 3.6
(
)
tgtittz 3sec2
−
=
3.7
()
()
1
1
−
+
−
=
tt
itt
tz
3.8
()
t
t
i
t
t
tz
−
+
⋅+
−
+
=
1
1
2
2
3.9
()
t
ch
i
tthtz
5
5
5 += 3.10
()
it
it
e
etz
2
1
3 −=
3.11
()
(
)
542
2
+−+−= ttittz 3.12
(
)
tchitshtz 4445
+
=
3.13
sect 3.14
()
34 itgttz −=
()
tthi
t
ch
tz 42
4
4
+=
3.15
сosect 3.16
()
2ictgttz −=
(
)
(
)
1232
22
+−++−= ttitttz
3.17
cosect 3.18
()
3ictgttz +−=
(
)
(
)
4122
22
++−++= ttitttz
3.19
3 cosect + i3ctgt 3.20
()
=tz
()
2
3
it
it
e
etz
−
−=
4 Восстановление аналитической функции по ее
действительной или мнимой части
Постановка задачи. Найти аналитическую функцию , если
задана ее действительная часть
()
ivuzf +=
(
)
yxu , (или мнимая часть ) и значение
в некоторой точке .
()
yx,v
()
zf
0
z
План решения.
1 Находим частные производные заданной функции
u (или .
(
yx,
)
()
yxv ,)
2 Используя условия Коши – Римана
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
,
,
x
v
y
u
y
v
x
u
находим
(или u ) с точностью до произвольной постоянной С.
(
yxv ,
)
)(
yx,
3 Находим значение постоянной С из условия
(
)(
0
0
| zfzf
zz
=
=
)
.
8
      Задачи для самостоятельного решения. Определить вид кривой,
заданной уравнением z (t ) = x(t ) + iy (t ), t ∈ (− ∞;+∞ ) .

       3.1 z (t ) = 3 sec t + i 2tgt ,                 3.2 z (t ) = 3ch2t + i 2 sh 2t
                               1                                    1+1     2+t
       3.3 z (t ) = 2e it + it                         3.4 z (t ) =      +i
                             2e                                     1− t    2−t
                                      (
       3.5 z (t ) = t + 4t + 20 − i t 2 + 4t + 4
                     2
                                                   )   3.6 z (t ) = 2 sec t − i3tgt
                    t − 1 + it                                      2+t         1+ t
       3.7 z (t ) =                                    3.8 z (t ) =        +i⋅
                     t (t − 1)                                      2−t         1− t
                               5i                                               1
       3.9 z (t ) = th5t +                             3.10 z (t ) = 3e it − it
                             ch5t                                             2e
                             (
       3.11 z (t ) = t − 2 + i t 2 − 4t + 5   )        3.12 z (t ) = 5sh 4t + i 4ch4t
                                                                        4
       3.13 z (t ) = 4tgt − i3 sect                    3.14 z (t ) =        + i 2th 4t
                                                                      ch4t
       3.15 z (t ) = ctgt − i 2 сosect                                                  (
                                                       3.16 z (t ) = t 2 − 2t + 3 + i t 2 − 2t + 1 )
       3.17 z (t ) = −ctgt + i3 cosect                 3.18 z (t ) = 2t 2   + 2t + 1 − i (t + t + 4 )
                                                                                            2

                                                                          e −it
       3.19 z (t ) = 3 cosect + i3ctgt                 3.20 z (t ) = 3e −
                                                                       it
                                                                            2



     4 Восстановление    аналитической                                 функции                  по   ее
действительной или мнимой части

           Постановка задачи. Найти аналитическую функцию f ( z ) = u + iv , если
задана ее действительная часть u ( x, y ) (или мнимая часть v( x, y ) ) и значение
 f ( z ) в некоторой точке z 0 .

       План решения.

      1 Находим частные производные заданной функции u ( x, y ) (или v( x, y ) ).
      2 Используя условия Коши – Римана
         ∂u ∂v
         ∂x = ∂y ,
        
        
         ∂u = − ∂v ,
         ∂y      ∂x
находим v( x, y ) (или u ( x, y ) ) с точностью до произвольной постоянной С.
      3 Находим значение постоянной С из условия f ( z ) | z = z0 = f ( z 0 ).


8

Страницы