Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2.1 1 2.2 i7− i54
−
− 2.3 i74
+
−
2.4
2.5 7 2.6 5i24 + i− i4
+
2.7
2.8 2 2.9 i−−1 i4+ i44
+
2.10
2.11 i35 − i
+
10 2.12 i214
−
−
2.13
2.14 2.15 8 i134 + i
2.16
2.17 5i45 − 1
+
i 2.18 i
+
3
2.19
2.20 i381 + i185
+
3 Кривые в комплексной области
Постановка задачи. Определить вид кривой, заданной уравнением
() () ()
,tiytxtz +=
(
)
+∞∞
−
∈ ;t .
План решения.
1 Составляем параметрические уравнения кривой:
()
()
=
=
,
,
tyy
txx
(
)
+∞∞
−
∈ ;t ,
где
.
() ()
,Re tztx =
() ()
tzty Im=
2 Исключая параметр
t
из параметрических уравнений, получаем
уравнение кривой в виде
.
()
0; =yxF
3 Используя канонические формы уравнений кривых на плоскости,
определяем вид искомой кривой.
4 Находим области значений
(
)
tx и
(
)
ty и выясняем, какая часть кривой
определяется исходным уравнением.
Пример. Определить вид кривой, заданной уравнением
()
=tz cosect – i2ctgt
Решение.
1 Составляем параметрические уравнения кривой:
.
=
=
,ctgt2
,ectcos4
y
x
()
+∞∞−∈ ;t
2 Исключив параметр
t
, получим
1
416
2
2
=−
y
x
.
3 Данное уравнение определяет на плоскости гиперболу с
действительной полуосью 4
и мнимый полуосью
=
а 2
=
b .
4
∈
∈
..
,
Ry
Rx
7
      2.1 1 − 7i        2.2 − 4 − 5i         2.3 − 4 + 7i
      2.4 4 + 2i        2.5 7 − i            2.6 5 + 4i
      2.7 − 1 − i       2.8 2 + 4i           2.9 4 + 4i
      2.10 5 − 3i       2.11 10 + i          2.12 − 14 − 2i
      2.13 4 + 13i      2.14 i               2.15 8
      2.16 5 − 4i       2.17 5i + 1          2.18 3 + i
      2.19 81 + 3i      2.20 5 + 18i



     3 Кривые в комплексной области

          Постановка задачи. Определить вид кривой, заданной уравнением
z (t ) = x(t ) + iy (t ), t ∈ (− ∞;+∞ ) .

       План решения.
       1 Составляем параметрические уравнения кривой:
         x = x(t ),
                      t ∈ (− ∞;+∞ ) ,
         y =  y (t ),
где x(t ) = Re z (t ), y (t ) = Im z (t ) .
       2 Исключая параметр t из параметрических уравнений, получаем
            уравнение кривой в виде
           F ( x; y ) = 0 .
       3 Используя канонические формы уравнений кривых на плоскости,
определяем вид искомой кривой.
       4 Находим области значений x(t ) и y (t ) и выясняем, какая часть кривой
определяется исходным уравнением.

          Пример. Определить вид кривой, заданной уравнением
z (t ) = cosect – i2ctgt

      Решение.
                                                                   x = 4 cos ect,
      1   Составляем    параметрические    уравнения    кривой:   
                                                                   y = 2 ctgt ,
t ∈ (− ∞;+∞ ) .
        2 Исключив параметр t , получим
          x2 y2
                −    = 1.
          16      4
        3 Данное уравнение определяет на плоскости                гиперболу      с
действительной полуосью а = 4 и мнимый полуосью b = 2 .
            x ∈ R,
        4 
            y ∈ R..
                                                                                 7

Страницы