Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 9 стр.

         Пример.                      Найти                    аналитическую                      функцию   f (z ) ,   если
                                      x                             1
u ( x, y ) = Re f ( z ) =                                 и f (π ) = .
                x2 + y2                                              π
         Решение.

         1 Находим частные производные функции u ( x, y ) :
             ∂u x 2 + y 2 − 2 x 2      y2 − x2
                =                   =           ;
             ∂x      2
                    x +y  ( 2 2        2
                                      x +y  2 2
                                                  )              (           )
              ∂u         2 xy
                 =−               .
              ∂y       2
                     x +y     (
                              2 2
                                                      )
         2 Из второго условия Коши – Римана
           ∂v    ∂u       2 xy
              =−    =
           ∂x    ∂y    x2 + y2
                               2
                                          (                  )
находим
              ∂v
         v = ∫ dx = ∫
                            2 xy                  d x2 + y2            y
                                                                           + C ( y ).
                                                                                     (            )
                                       dx  =  y ∫               = −
              ∂x          2
                        x +y     2 2
                                              (     2
                                                   x +y  2 2
                                                                 )   2
                                                                    x +y 2
                                                                                 (            )
Дифференцируя v по y, получаем
      ∂v
          =−
                     (
              x2 + y 2 − 2y 2             )
                               + C ′( y ) = 2
                                             y2 − x2
                                                      + C ′( y ).
      ∂y          2
                x +y   2 2
                          (                 x +y  ) 2
                                                                         (               )
Для нахождения функции C ( y ) используем 1–е условие Коши – Римана
       ∂u        y2 − x2
           =                ,
                 (
       ∂x x 2 + y 2 2                 )
получаем С ′( y ) = 0 , C ( y ) = C .
Таким образом, получаем функцию f ( z ) в виде
                                x             y       
        f ( z ) = u + iv = 2        2
                                      + i −
                                            2   2
                                                   + C .
                                                       
                           x +y            x +y       
           1 π            0          
        3 = 2 + i − 2 + C  ,
          π π             π          
             1 1
                 = + iC ⇒ C = 0 .
                π        π
                                  x                          y            x − iy              z  1
            f (z ) =                          −i                     =                   =      = .
                         x2 + y2                          x2 + y2        x2 + y2             z⋅z z

           Задачи для самостоятельного решения. Восстановить аналитическую
функцию f ( z ) , если заданы ее действительная или мнимая часть и значение
f ( z ) в некоторой точке z 0 .
                                                                                                                          9