Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1
1
1
2
1
3
2
+
−
−
=
−
+
zz
z
z
.
4 В каждом кольце аналитичности элементарные дроби раскладываем в
ряды, используя разложения в ряд Тейлора.
При
53 <+− iz имеем:
()()
(
)
(
)
()
()( )
()
173,
4
31
4
31
4
1
4
3
1
1
4
1
43
1
1
1
0
1
0
<+−
−
+−−
=
=
−
+−−
−
=
−
+−
+
⋅
−
=
−++−
=
+
∑
∑
∞
=
+
∞
=
iz
i
iz
i
iz
i
i
iz
iiizz
n
n
nn
n
n
nn
(6.6)
()()
(
)( )
()
()( )
()
53,
2
31
2
31
2
1
2
3
1
1
2
1
23
1
1
1
0
1
0
<+−
−
+−−
=
=
−
+−⋅−
−
=
−
+−
+
⋅
−
=
−++−
=
−
∑
∑
∞
=
+
∞
=
iz
i
iz
i
iz
i
i
iz
iiizz
n
n
nn
n
n
nn
(6.7)
Следовательно, в круге
53 <+− iz ряд Лорана функции
(
)
zf имеет вид:
(
)( )
()
(
)
(
)
()
∑∑
∞
=
+
+
∞
=
+
−
+−−
+
−
+−−
=
−
+
0
1
1
0
12
4
31
2
31
2
1
3
n
n
nn
n
n
nn
i
iz
i
iz
z
z
.
При
1735 <+−< iz (6.7) расходится, а ряд (6.6) сходится. Поэтому вместо
(6.7) используем:
()()()
()
()
()
()()
()
53,
3
12
3
2
1
3
1
3
2
1
1
3
1
23
1
1
1
0
1
0
>+−
+−
−−
=
+−
−
−
+−
=
=
+−
−
+
⋅
+−
=
−++−
=
−
∑∑
∞
=
+
∞
=
iz
iz
i
iz
i
iz
iz
i
iziizz
n
n
nn
n
n
n
n
(6.8)
Следовательно, в кольце
1735 <+−< iz ряд Лорана функции имеет
вид:
()
zf
(
)( )
()
(
)
(
)
()
∑∑
∞
=
+
∞
=
+
−
+−−
+
+−
−−
=
−
+
0
1
0
12
4
31
3
12
2
1
3
n
n
nn
n
n
nn
i
iz
iz
i
z
z
При
173 >+− iz ряд (6.8) сходится, а ряд (6.6) расходится. Поэтому вместо
(6.6) используем:
16
                  z+3           2    1
                          =       −     .
                  z2 −1       z −1 z +1

       4 В каждом кольце аналитичности элементарные дроби раскладываем в
ряды, используя разложения в ряд Тейлора.
       При z − 3 + i < 5 имеем:
  1             1                1                 1         1 ∞ (− 1)n ( z − 3 + i )n
                                                 z − 3 + i 4 − i n∑
     =                        =      ⋅                    =                            =
z + 1 ( z − 3 + i ) + (4 − i ) 4 − i                                  (4 − i ) n
                                              1+                  =0
                                                   4−i                                       (6.6)
     ∞
         (− 1) (z − 3 + i )
              n               n
=    ∑                            , z − 3 + i < 17
     n=0     (4 − i )n+1

  1             1                1                 1         1 ∞ (− 1)n ⋅ ( z − 3 + i )n
                                                 z − 3 + i 2 − i n∑
     =                        =      ⋅                    =                              =
z − 1 ( z − 3 + i ) + (2 − i ) 2 − i                                   (2  −  i ) n
                                              1+                  = 0
                                                   2−i                                       (6.7)

=∑
     (
     ∞
      − 1)n ( z − 3 + i )n
                           , z −3+i         < 5
 n=0     (2 − i )n+1
Следовательно, в круге z − 3 + i < 5 ряд Лорана функции f ( z ) имеет вид:
              z+3
                   = 2∑
                           (− 1)n ( z − 3 + i )n
                              ∞
                                                     +∑
                                                        ∞
                                                           (− 1)n +1 ( z − 3 + i )n
                                                                                    .
             z2 −1    n =0     (2 − i )n+1            n =0      (4 − i )n+1
При 5 < z − 3 + i < 17 (6.7) расходится, а ряд (6.6) сходится. Поэтому вместо
(6.7) используем:
   1               1                 1               1
      =                        =              ⋅            =
 z − 1 ( z − 3 + i ) + (2 − i ) ( z − 3 + i )        2−i
                                                1+
                                                   z −3+i                (6.8)

                 (− 1)n (2 − i ) n = ∑ (2 − i ) (− 1n+)1 , z − 3 + i > 5
              ∞                  n      ∞          n   n
      1
=            ∑
   z − 3 + i n=0        (z − 3 + i ) n=0 (z − 3 + i )

Следовательно, в кольце 5 < z − 3 + i < 17 ряд Лорана функции f ( z ) имеет
вид:
        z+3
             = 2∑
                 ∞
                     (2 − i )n (− 1)n
                                        +∑
                                          ∞
                                              (− 1)n ( z − 3 + i )n
                n =0 ( z − 3 + i )                (4 − i )n +1
                                   n +1
       z2 −1                             n =0

При z − 3 + i > 17 ряд (6.8) сходится, а ряд (6.6) расходится. Поэтому вместо
(6.6) используем:



16

Страницы