Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 21 стр.

                 cos iz − 1                                                z 2 + cos z
       7.15 ∫         3
                           dz                              7.16    ∫                     dz
            z =1    z                                             z =3         z3

                       2 + 3z 3 − 5 z 4                                    1 − z 4 + 3z 6
       7.17    ∫                z5
                                          dz               7.18    ∫            2z 3
                                                                                              dz
                   1                                                   1
              z=                                                  z=
                   2                                                   3


                       z − sin z                                           1 − 2 z + 3z 2 + 4 z 3
       7.19    ∫         2z 4
                                     dz                    7.20   ∫                  2z 2
                                                                                                    dz
              z =2                                                     1
                                                                  z=
                                                                       3



     8 Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов
                                                                                2π
       Постановка               задачи.        Вычислить    интеграл             ∫ R(cos x, sin x )dx ,   где
                                                                                 0
R(cos x, sin x ) – рациональная функция sin x и cos x .

       План решения.

      1 Вводим комплексную переменную z = e ix . При этом область
интегрирования [0;2π ] отобразится в окружность z = 1, 0 ≤ arg z ≤ 2π .
                                       dz
      2 Находим dz = ie ix dx ⇒ dx = .
                                       iz
По формулам Эйлера:
                    e ix + e −ix 1     1
            cos x =             =  z + ,
                         2       2     z
                       e ix − e −ix 1        1
              sin x =               =  z − .
                            2i        2i     z
       3 Получаем
        2π
                                      1      1 1           1   dz
         ∫ R(cos x, sin x )dx = ∫ R 2  z + z , 2i  z − z   iz =          ∫ f (z )dz .
         0                       z =1                                                z =1


      4 Вычисляем контурный интеграл от функции                                         f ( z ) комплексной
переменной z с помощью вычетов (см. 7).




                                                                                                           21