Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 22 стр.

                                                     2π
                                                               dx
      Пример. Вычислить интеграл                        ∫ 3 + cos x .
                                                        0
      Решение.

      1 Вводим комплексную переменную z = e ix . При этом область
интегрирования [0;2π ] отобразится в окружность z = 1, 0 ≤ arg z ≤ 2π .
                                   dz
      2 dz = ie ix dx ⇒ dx = . По формулам Эйлера
                                   iz
                    ix      − ix
                   e +e             1       1
         cos x =                  = z + .
                        2           2       z
        2π
               dx                     2 zdz       2         dz
      3 ∫              = ∫                       = ∫ 2
                                       (             )
                                                                     .
         0
           3 + cos  x     z =1  iz z 2
                                       + 6 z + 1  i z =1 z + 6 z + 1
       4 Вычисляем контурный интеграл от функции комплексной переменной
z с помощью вычетов:
       а)    Находим    особые     точки    подынтегральной     функции
     1                1
           =                         как нули (первого порядка) ее
  2
                 (               )(
z + 6z + 1 z + 3 − 2 2 z + 3 + 2 2                  )
знаменателя: z1 = −3 + 2 2 и z 2 = −3 − 2 2 . Точка z 2 = −3 − 2 2 лежит вне
контура, т.к.        − 3 − 2 2 > 1 , а z1 = −3 + 2 2 лежит внутри контура, т.к.
− 3 + 2 2 < 1.
      б) Точка z1 = −3 + 2 2 – полюс первого порядка.

      в) res f ( z1 ) =       lim
                                                    (z + 3 − 2 2 )       =
                                                                           1
                                                                              .
                           z → −3+ 2       2 (z + 3 − 2 2 )(z + 3 + 2 2 ) 4 2

       г) Вычисляем контурный интеграл по теореме Коши о вычетах:
2π
     dx       2          1   π 2
∫ 3 + cos x = i ⋅ 2πi ⋅ 4 2 = 2 .
0


      Задачи для самостоятельного решения. Вычислить интеграл с помощью
вычетов

            2π                                                 2π
                     dx                                               dx
      8.1   ∫2+       3 sin x
                                                        8.2    ∫4+    15 sin x
            0                                                  0

            2π                                                 2π
                      dx                                                dx
      8.3   ∫5+2       6 sin x
                                                         8.4    ∫6+     35 sin x
            0                                                   0



22