Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1 Для того, чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию
комплексной переменной
()
(
)
()
zQ
zP
zf
m
n
=
]
и строим контур, состоящий из отрезка
вещественный оси
[
RR;
−
и полуокружности
{
}
0Im, ≥
=
=
zRzC
R
, выбрав
R
так, чтобы все особые точки
(
)
nkz
k
,...,2,1
=
функции
(
)
zf , лежащие в верхней
полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах
()
()
() ( )
∫
∑
∫
=
−
=+
R
C
n
k
k
R
R
m
n
zfresidzzfdx
xQ
xP
1
2
π
(9.1)
Переходим к пределу при +∞→
R
. Так как 2
+
≥ nm , то
()
∫
=
+∞→
R
C
R
dzzf 0lim . Поскольку правая часть в (9.1) не зависит от
R
, имеем
()
()
(
∫
∑
+∞
∞−
=
=
n
k
k
m
n
zresfidx
xQ
xP
1
2
π
)
, (9.2)
где
– особые точки функции
k
z
(
)
zf , лежащие в верхней полуплоскости, и
определяем их тип.
2 Вычисляем вычеты в этих точках.
3 Вычисляем искомый интеграл по формуле (9.2)
Пример. Вычислить интеграл
(
)
(
)
∫
+
∞
∞−
++ 161
2
2
2
xx
dx
.
Решение.
1 Для того, чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию
комплексной переменной
()
()( )
(
)
()
zQ
zP
zz
zf
6
0
2
2
2
161
1
=
++
=
[]
RR;
и строим контур, состоящий из отрезка
вещественной оси
−
и полуокружности
{
}
0Im, ≥
=
=
zRzC
R
, выбрав
R
так, чтобы все особые точки
функции
k
z
(
)
zf , лежащие в верхней
полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах
(
)( )
() ( )
∫
∑
∫
=
−
=+
++
R
C
n
k
k
R
R
zresfidzzf
xx
dx
1
2
2
2
2
161
π
(9.3)
24
       1 Для того, чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию
                                  P (z )
комплексной переменной f ( z ) = n        и строим контур, состоящий из отрезка
                                 Qm ( z )
вещественный оси [− R; R ] и полуокружности C R = { z = R, Im z ≥ 0}, выбрав R
так, чтобы все особые точки z k (k = 1,2,..., n ) функции f ( z ) , лежащие в верхней
полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах

                        Pn ( x )
                        R                                 n
                      ∫ Qm ( x ) dx +  ∫ f ( z )dz = 2πi ∑ res f (z k )                                      (9.1)
                     −R               C             R
                                                         k =1


Переходим к пределу при R → +∞ . Так как m ≥ n + 2 , то
 lim ∫ f ( z )dz = 0 . Поскольку правая часть в (9.1) не зависит от R , имеем
R → +∞
         CR


                    +∞
                       Pn ( x )            n
                     ∫ Qm (x )  dx = 2π i ∑ resf (z k ) ,                                                    (9.2)
                    −∞                    k =1


где z k – особые точки функции f ( z ) , лежащие в верхней полуплоскости, и
определяем их тип.

          2 Вычисляем вычеты в этих точках.

          3 Вычисляем искомый интеграл по формуле (9.2)

                                                               +∞
                                                                                     dx
          Пример. Вычислить интеграл                               ∫                                     .
                                                               −∞      (x   2
                                                                                 ) (x
                                                                                +1
                                                                                     2    2
                                                                                              + 16   )
          Решение.

      1 Для того, чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию
комплексной переменной
                      1        P0 ( z )
       f (z ) =              =           и строим контур, состоящий из отрезка
                (2   2 2
                         )(
                z + 1 z + 16   Q 6 ( z )    )
вещественной оси [− R; R ] и полуокружности C R = { z = R, Im z ≥ 0}, выбрав R
так, чтобы все особые точки z k функции f ( z ) , лежащие в верхней
полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах

                    R                                                                          n
                                       dx
                    ∫                                          +   ∫ f (z )dz = 2πi ∑ resf (z k )            (9.3)
                    −R   (x   2
                                   ) (x
                                  +1
                                       2        2
                                                    + 16   )       CR                         k =1

24

Страницы