Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 25 стр.

Переходим к пределу при R → +∞ . Так как степени многочленов P0 и Q6
удовлетворяют соотношению m ≥ n + 2 , то
 lim ∫ f ( z )dz = 0 . Поскольку правая часть в (9.3) от R не зависит, имеем
R → +∞
          CR
+∞                                                                n
                    dx
 ∫                                               = 2πi ∑ resf ( z k ), где z k – особые точки функции
−∞   (x   2
              +1   ) (x
                    2        2
                                 + 16        )                k =1

                                 1
 f (z ) =                                                     , лежащие в верхней полуплоскости.
              (z   2
           + 1 z + 16           )(
                                 2       2
                                                          )
       2 Находим особые точки функции
                                    1                           1
                  f (z ) =                  =
                                                              (                   )(
                            z 2 + 1 z 2 + 16 ( z − i ) ( z + i ) ( z − 4i )( z + 4i )
                                   2                  2         2
                                                                                           )
как нули знаменателя:
                         z = i – полюс второго порядка,
                         z = −i – полюс второго порядка,
                         z = 4i – полюс первого порядка,
                         z = −4i – полюс первого порядка.

              3 Вычисляем вычеты в точках z = i и z = 4i .
                                         z − 4i                    1              1
              resf (4i ) = lim                            =                  =           ,
                            z → 4i 2
                                                  (
                                   z + 1 ( z + 4i ) (− 16 + 1) ⋅ 8i
                                            2
                                                                      )
                                                                      2        1800   i

              resf (i ) = lim 
                                d              ( z − i )2         
                                                                    = − lim
                                                                                2 2 z 2 + iz + 16
                                                                                                    =
                                                                                                                     (                 )
                          z →i dz  ( z − i )2 ( z + i )2 z 2 + 16 
                                                                        z →i         (
                                                                               (z + i ) z + 16
                                                                                        3 2     ) 2
                                                                                                                                  (   )
                  2(− 2 − 1 + 16 )          26
              =−                       =           .
                       − 8i ⋅ 225        1800i
              4 Вычисляем интеграл
                 +∞
                                 dx                       1         26  3π
                  ∫ 2 2 2                      = 2πi ⋅          +        =        .
                            (
                 − ∞ x + 1 x + 16            )(           1800i   1800 i )
                                                                              100

              Задачи для самостоятельного решения. Вычислить интеграл.

                        +∞                                                                           +∞
                                     x2 − x + 2                                                                x −1
              9.1       ∫                                             dx                       9.2   ∫                       dx
                       −∞
                                 4
                             x + 10 x + 9             2
                                                                                                     −∞   (x   2
                                                                                                                   +4   )2



                        +∞                                                                           +∞
                                                 dx                                                                 dx
              9.3       ∫                                                                      9.4   ∫
                       −∞    (x      2
                                         +4      ) (x
                                                  2           2
                                                                  + 16        )                      −∞   (x   2
                                                                                                                   − x +1     )   2




                                                                                                                                           25