Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл
()
∫
+∞
∞−
dxexR
xi
λ
и воспользоваться формулами:
() ()
∫∫
+∞
∞−
+
∞
∞−
= dxexRxdxxR
xi
λ
λ
Recos (10.1)
или
() ()
∫∫
+∞
∞−
+
∞
∞−
= dxexRIxdxxR
xi
m
λ
λ
sin . (10.2)
1 Чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию
комплексной переменной
() ()
xi
ezRzf
λ
=
и строим контур, состоящий из отрезка вещественный оси
и
полуокружности
[]
RR;−
{
}
0Im, ≥=
=
zRzC
R
, выбрав
R
так, чтобы все особые точки
функции , лежащие в верхней полуплоскости, оказались
внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах
(
nkz
k
,...,2,1=
) ()
zf
. (10.3)
() () ( )
∫∫
∑
−
=
=+
R
RC
n
k
k
xi
R
zresfidzzfdxexR
1
2
π
λ
Переходим к пределу при +∞→
R
и используем лемму Жордана.
Лемма Жордана: Пусть
(
)
zg аналитична в верхней полуплоскости, за
исключением конечного числа особых точек, и
(
)
0max →
∈
zg
R
Cz
при
∞→
R
.
Тогда 0>∀
λ
()
0lim =
∫
+∞→
dzezg
zi
C
R
R
λ
.
Так как в нашем случае
(
)
(
)
zRzg
=
– правильная рациональная дробь и
0>
λ
, то условия леммы Жордана выполнены и, следовательно,
.
()
0=
∫
dzzf
R
C
lim
+∞→
R
Поскольку правая часть в (10.3) не зависит от
R
, имеем:
, (10.4)
() ( )
∫
∑
+∞
∞−
=
=
n
k
zi
k
xi
k
ezresRidxexR
1
2
λ
λ
π
где
– особые точки функции
k
z
(
)
zf , лежащие в верхней полуплоскости.
27
          Для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл
+∞

 ∫ R(x )e
              iλx
                    dx
−∞
и воспользоваться формулами:
                                    +∞                             +∞

                                     ∫ R(x ) cos λxdx = Re ∫ R(x )e dx
                                                                   iλx
                                                                                              (10.1)
                                    −∞                             −∞
или
                                    +∞                            +∞

                                    ∫ R(x ) sin λxdx = I m ∫ R(x )e dx .
                                                                   iλx
                                                                                              (10.2)
                                    −∞                            −∞


        1 Чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию
комплексной переменной
         f ( z ) = R( z )e iλx
 и строим контур, состоящий из отрезка вещественный оси [− R; R ] и
полуокружности C R = { z = R, Im z ≥ 0}, выбрав R так, чтобы все особые точки
z k (k = 1,2,..., n ) функции f ( z ) , лежащие в верхней полуплоскости, оказались
внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах

                              R                                            n
                              ∫    R( x )e iλx dx +   ∫    f ( z )dz = 2πi ∑ resf ( z k ) .   (10.3)
                              −R                      CR                  k =1


Переходим к пределу при R → +∞ и используем лемму Жордана.

      Лемма Жордана: Пусть g ( z ) аналитична в верхней полуплоскости, за
исключением конечного числа особых точек, и max g ( z ) → 0 при R → +∞ .
                                                                                 z∈C R
Тогда ∀λ > 0
        lim ∫ g ( z )e iλz dz = 0 .
              R → +∞
                         CR
       Так как в нашем случае g ( z ) = R( z ) – правильная рациональная дробь и
λ > 0 , то условия леммы Жордана выполнены и, следовательно,
 lim ∫ f ( z )dz = 0 .
R → +∞
         CR
          Поскольку правая часть в (10.3) не зависит от R , имеем:

                              +∞                            n
                              ∫    R( x )e iλx dx = 2πi ∑ resR( z k )e iλzk ,                 (10.4)
                              −∞                           k =1


где z k – особые точки функции f ( z ) , лежащие в верхней полуплоскости.

                                                                                                   27

Страницы