ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2 Находим особые точки функции
(
)
zf , лежащие в верхней
полуплоскости, и определяем их тип.
3 Вычисляем вычеты в этих точках.
4 Вычисляем несобственный интеграл
по формуле (10.4).
()
∫
+∞
∞−
xdxxR
λ
sin
5 Используя формулы (10.1) или (10.2) вычисляем искомый интеграл.
Пример. Вычислить интеграл
∫
+
∞
∞−
+− 102
cos
2
xx
xx
.
Решение.
Для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл
∫
+∞
∞−
+−
dx
xx
xe
ix
102
2
и воспользоваться формулой
(
)
dx
xx
ex
dx
xx
xx
ix
∫∫
+∞
∞−
+
∞
∞−
+−
+
=
++ 102
1
Re
102
cos
22
. (10.5)
1 Чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию
комплексной переменной
()
iz
e
zz
z
zf
102
2
+−
=
и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси
и
полуокружности
[]
RR;−
{
}
0Im, ≥=
=
zRzC
R
, выбрав
R
так, чтобы все особые точки
функции , лежащие в верхней полуплоскости, оказались
внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах:
(
nkz
k
,...,2,1=
) ()
zf
() ( )
∫∫
∑
−
=
=+
+−
R
RC
n
k
k
ix
R
zresfidzzf
xx
dxxe
1
2
2
102
π
. (10.6)
Переходим к пределу при
+
∞→
R
. Так как в нашем случае
()
102
2
+−
=
zz
z
zg
есть правильная рациональная дробь и 01 >=
λ
, то условия
леммы Жордана выполнены и, следовательно,
()
∫
=
+∞→
R
C
R
dzzf 0lim .
28
2 Находим особые точки функции f ( z ) , лежащие в верхней
полуплоскости, и определяем их тип.
3 Вычисляем вычеты в этих точках.
4 Вычисляем несобственный интеграл
+∞
∫ R(x ) sin λxdx по формуле (10.4).
−∞
5 Используя формулы (10.1) или (10.2) вычисляем искомый интеграл.
+∞
x cos x
Пример. Вычислить интеграл ∫ 2
x − 2 x + 10
.
−∞
Решение.
Для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл
+∞
xe ix
∫ x 2 − 2 x + 10 dx
−∞
и воспользоваться формулой
+∞
x cos x
+∞
(x + 1)e ix
∫ x 2 + 2 x + 10
dx = Re ∫ 2
dx . (10.5)
−∞ − ∞ x − 2 x + 10
1 Чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию
комплексной переменной
z
f (z ) = 2 e iz
z − 2 z + 10
и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси [− R; R ] и
полуокружности C R = { z = R, Im z ≥ 0}, выбрав R так, чтобы все особые точки
z k (k = 1,2,..., n ) функции f ( z ) , лежащие в верхней полуплоскости, оказались
внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах:
R
xe ix dx n
∫ 2
+ ∫ f ( z )dz = 2πi ∑ resf ( z k ) . (10.6)
−R x − 2 x + 10 CR k =1
Переходим к пределу при R → +∞ . Так как в нашем случае
z
g (z ) = 2 есть правильная рациональная дробь и λ = 1 > 0 , то условия
z − 2 z + 10
леммы Жордана выполнены и, следовательно,
lim ∫ f ( z )dz = 0 .
R → +∞
CR
28
