ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Поскольку правая часть в (10.6) не зависит от
R
, имеем
k
iz
n
k
nk
k
ix
e
zz
z
residxe
xx
x
⋅
+−
=
+−
∑
∫
=
+∞
∞−
1
22
102
2
102
π
, (10.7)
где
– особые точки функции
k
z
()
iz
e
zz
z
zf
102
2
+−
=
, лежащие в верхней полуплоскости.
2 Находим особые точки функции
()
()()
iziz
ze
zz
ze
zf
iziz
3131
102
2
+−−−
=
+
−
=
как нули (первого порядка) ее знаменателя: iz 31
+
=
и iz 31
−
=
. Таким образом,
точки и – полюса первого порядка. В верхней полуплоскости
лежит единственная точка .
iz 31 += iz 31 −=
iz 31 +=
3 Вычисляем вычет в простом полюсе iz 31
+
=
.
()
()
()()
(
)
(
)
()
1sin1cos
6
3
6
31
3131
31
lim31
3
31
31
ie
i
i
ei
iziz
zeiz
iresf
iiiz
iz
+
−
=
+
=
+−−−
−−
=+
−
+
+→
.
1 Вычисляем несобственный интеграл по формуле (10.7):
()
1sin1cos
6
3
2
102
32
i
e
i
i
xx
dxxe
ix
+
−
⋅=
+−
∫
+∞
∞−
π
.
2 Используем формулу (10.5), вычисляем искомый интеграл
()( )
()
.1sin31cos
3
1
1sin1cos13
3
1
Re
102
Re
102
cos
3
3
22
−=
=+⋅+=
+−
=
+−
−
−
∞+
∞−
∞+
∞−
∫∫
e
iiedx
xx
xe
dx
xx
xx
ix
π
π
Задачи для самостоятельного решения. Вычислить несобственные
интегралы
10.1
()
()
∫
+∞
∞−
+
−
dx
x
xx
2
2
9
sin1
10.2
(
)
∫
+
∞
∞−
+
dx
x
x
2
2
1
2cos
10.3
()
∫
+∞
∞−
+
dx
x
xx
2
2
2
1
cos
10.4
(
)
∫
+
∞
∞−
++
+
dx
xx
xx
65
cos1
24
10.5
()( )
∫
∞+
∞−
++ 91
2
sin
22
xx
dx
x
x
10.6
(
)
∫
∞
+
∞−
++
+
dx
xx
xx
23
2cos3
24
2
29
Поскольку правая часть в (10.6) не зависит от R , имеем
+∞ n
x zk
∫ 2
e ix
dx = 2π i ∑ res 2
⋅ e izk , (10.7)
−∞ x − 2 x + 10 k =1 z k − 2 z n + 10
где z k – особые точки функции
z
f (z ) = 2 e iz , лежащие в верхней полуплоскости.
z − 2 z + 10
2 Находим особые точки функции
ze iz ze iz
f (z ) = 2 =
z − 2 z + 10 ( z − 1 − 3i )( z − 1 + 3i )
как нули (первого порядка) ее знаменателя: z = 1 + 3i и z = 1 − 3i . Таким образом,
точки z = 1 + 3i и z = 1 − 3i – полюса первого порядка. В верхней полуплоскости
лежит единственная точка z = 1 + 3i .
3 Вычисляем вычет в простом полюсе z = 1 + 3i .
( z − 1 − 3i )ze iz ( 1 + 3i )e i (1+3i ) 3 − i −3
resf (1 + 3i ) = lim = = e (cos 1 + i sin 1) .
z →1+ 3i ( z − 1 − 3i )( z − 1 + 3i ) 6i 6
1 Вычисляем несобственный интеграл по формуле (10.7):
+∞
xe ix dx 3− i
∫ x 2 − 2 x + 10 = 2π i ⋅ 3 (cos 1 + i sin 1) .
−∞ 6e
2 Используем формулу (10.5), вычисляем искомый интеграл
+∞ + ∞
x cos x xe ix 1 −3
∫ x 2 − 2 x + 10 dx = Re ∫ 2
dx = Re πe (3i + 1) ⋅ (cos 1 + i sin 1) =
−∞ −∞ x − 2 x + 10 3
1
= πe −3 (cos 1 − 3 sin 1).
3
Задачи для самостоятельного решения. Вычислить несобственные
интегралы
+∞
(x − 1) sin x dx +∞
cos 2 x
10.1 ∫ 10.2 ∫ dx
−∞ (x 2
+9 ) 2
−∞ (x 2
+1) 2
+∞
x 2 cos x
+∞
(x + 1) cos x
10.3 ∫ dx 10.4 ∫ dx
−∞ (x 2
+1 ) 2
−∞ x 4 + 5x 2 + 6
x
+∞
2
x sin
dx +∞
(x 2
)
+ 3 cos 2 x
10.5 ∫ (
x2 + 1 x2 + 9 )( )
10.6 ∫ 4
x + 3x + 2 2
dx
−∞ −∞
29
