Компьютерное моделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования. Дворецкий С.И - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Частные случаи.
1. Если стержень однороден, то ρ, c
p
, k = const, и мы получаем линейное уравнение теплопро-
водности
),(
2
txfTaT
xxt
+=
,
где
ρ
=
p
c
k
a
2
– коэффициент температуропроводности;
ρ
=
p
c
txF
txf
),(
),(
.
Если источники отсутствуют, т.е. 0),(
=
txF , то уравнение теплопроводности примет вид
xxt
TaT
2
= .
2. В случае теплообмена с окружающей средой, подчиняющегося закону Ньютона, количество
тепла, теряемого стержнем, рассчитываемого на единицу длины и времени, равно )(
0
θ
−
α
=
TF ,где
θ(x, t) – температура окружающей среды, α – коэффициент теплообмена.
Поскольку в нашем приближении не учитывается распределение температуры по сечению, то
действие поверхностных источников эквивалентно действию объемных источников тепла. Таким
образом, плотность тепловых источников в точке x в момент времени t равна )(),(
1
θ
−
α
−
= TtxFF ,
где ),(
1
txF – плотность других источников тепла.
Если стержень однороден, то уравнение теплопроводности с боковым теплообменом имеет
следующий вид:
),(
1
2
txfThTaT
xxt
+−=
, где
ρ
α
=
p
c
h
1
;
ρ
+θ=
p
c
txF
txhtxf
),(
),(),(
1
1
– известная функция.
3. Коэффициенты c
p
и k, как правило, являются медленно меняющимися функциями темпе-
ратуры. Поэтому сделанное выше предположение о постоянстве этих коэффициентов возможно
лишь при условии рассмотрения небольших интервалов изменения температуры.
Изучение процесса теплопроводности в большом интервале изменения температур приводит
к нелинейному уравнению теплопроводности, которое для неоднородной среды запишется в виде
()
t
T
xTxTctxF
x
T
xTk
x
p
∂
∂
ρ=+
∂
∂
∂
∂
),(),(),(,
.
Для получения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравне-
нию присоединить начальные и граничные условия.
Начальное условие состоит в задании значений функции
),( txT в начальный момент
0
t , т.е.
lxxTtxT ≤≤= 0),(),(
00
.
Граничные условия могут быть различными в зависимости от температурного режима на
торцах стержня. Рассматривают три основных типа граничных условий.
1 На торцах стержня в любой момент времени задается температура:
0),(),(),(),0(
21
>== ttTtlTtTtT .
2 На торцах стержня задаются потоки теплоты как функции времени:
() ()
)(,),(,0
21
ttl
x
T
tt
x
T
ν=
∂
∂
ν=
∂
∂
.
К этим условиям мы приходим, если задана величина теплового потока ),( tlQ , протекающего
через торцевое сечение стержня,
()
tl
x
T
ktlQ
,),(
∂
∂
−=
,
откуда
()
)(, ttl
x
T
ν=
∂
∂
, где )(tν – известная функция, выражающаяся через заданный поток ),( tlQ по
формуле

Страницы