ВУЗ:
Составители:
Пусть у – сеточная функция, заданная на
τ
ω
h
. Будем обозначать
()
ji
j
i
txyy ,= значение сеточной
функции у в узле
),(
ji
tx
сетки
τ
ω
h
. Непрерывной функции
(
)
txT , или
(
)
txc , , где
()
Π
∈tx, , будем ста-
вить в соответствие сеточную функцию
(
)
(
)
jiji
i
i
txctxTy ,, ∨= .
Рассмотрим теперь производную
x
v
′
функции )v(x . Заменить ее разностным выражением можно
бесчисленным множеством способов. Простейшими являются замены вида
ih
ii
x
L
h
v
vv
~v
1
−
−
=
−
′
– левая
разностная производная (левое разностное отношение);
ih
ii
x
L
h
v
vv
~v
1
+
+
=
−
′
– правая разностная про-
изводная;
ih
ii
x
L
h
v
2
vv
~v
0
11
=
−
′
−+
– центральная разностная производная, где знак ~ означает соответ-
ствие или аппроксимацию.
Обращаясь к формулам для
±
h
L , видим, что
ih
L v
−
и
ih
L v
+
аппроксимируют vv
′
=L
с первым по-
рядком. Выражения для
ih
L v
−
содержат значения v в двух узлах
i
xx
=
и
1−
=
i
xx сетки. Говорят, что
оператор
−
h
L является двухточечным или оператором первого порядка.
Множество узлов, значения сеточной функции в которых входят в выражение
v
h
L , называют
шаблоном оператора
h
L в точке
i
x . Очевидно, что шаблон оператора
−
h
L
состоит из узлов
i
x и
1−i
x ,
а шаблон
+
h
L – из узлов
i
x и
1+i
x .
Возьмем теперь трехточечный оператор, определенный на шаблоне
1−i
x ,
i
x ,
1+i
x :
()
()
(
)()
h
LLL
iii
ihihi
h
11
v1v21v
v1vv
−+
−+σ
σ−−σ−
+
σ
=σ−+σ=
,
где
σ
– произвольное число. В частности при
2
1
=
σ
получаем центральную разностную производ-
ную
ih
L v
0
, которая аппроксимирует
()
xv
′
со вторым порядком.
Рассмотрим теперь вторую производную
ϑ
′
′
=
ϑ
L . Выберем трехточечный шаблон, состоящий
из узлов
1−i
x ,
i
x ,
1+i
x и рассмотрим разностный оператор
h
hh
h
L
iiii
iii
i
h
11
2
11
vvvv
vv2v
v
−+
−+
−
−
−
=
+−
=
,
()
2
11
11
vv2v
vvvv
vv
1
v
h
h
hh
LL
h
L
iii
iiii
ihihi
h
−+
−+
−+
+−
=
−
−
−
=−=
.
На практике аппроксимация производных на многоточечных шаблонах используется редко,
так как при увеличении шаблона обычно увеличивается объем вычислительной работы, и ухуд-
шаются качества получающихся разностных операторов (в смысле устойчивости).
Рассмотрим более сложный оператор
2
2
x
u
t
u
Lu
∂
∂
−
∂
∂
=
, где
(
)
txuu ,
=
– функция двух аргументов
x
и
t
, ме-
няющаяся в области
()
Ttx ≤≤≤≤=Π 0,10 . Введем сетку
τ
ω
h =
(
)
{
}
21
,0;,0,, NjNijtihx
ji
==τ== с шагами
1
1 Nh
=
;
2
NT=τ . Произведем замену
1
,
1
~
+
+
=
τ
−
∂
∂
j
it
j
i
j
i
u
uu
t
u
; с
j
ixx
j
i
j
i
j
i
u
h
uuu
t
u
,
2
11
2
2
2
~
=
+−
∂
∂
+−
.
В результате получим разностный оператор
2
11
1
1
2
h
uuu
uu
uL
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
ih
+−
+
+
+−
−
−
=
τ
τ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
