ВУЗ:
Составители:
1
2
1
1
1
1
1
1
2
+
+
+
+
+
−
+
ϕ+
+−
=
τ
−
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
h
yyy
yy
.
В этом случае для определения
1+j
i
y на новом слое 1
+
j получаем систему алгебраических
уравнений
()
1
11
1
11
1
0,21 Niyyyy
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
<<τϕ−−=γ+γ+−γ
++
+
++
−
.
Такая схема называется неявной или схемой с опережением.
Понятие об устойчивости разностных сил.
После того, как разностная схема написана, возникает, прежде всего, вопрос о разрешимости
полученной алгебраической системы уравнений. Если эта система неразрешима, то такую схему
следует признать непригодной.
Пусть разностная задача разрешима. Тогда естественно требовать, чтобы при неограничен-
ном измельчении сетки решение разностной задачи стремилось к решению исходной задачи для
дифференциального уравнения (схема сходилась). В этих рассуждениях мы предполагаем, что
разностная задача решается точно, и решение может быть найдено с любым числом знаков.
Практически же все вычисления ведутся с конечным числом знаков, и на каждом этапе вычисле-
ний допускаются ошибки округления. Если малые ошибки округления, допускаемые на проме-
жуточных этапах вычислительного процесса, при сгущении сетки приводят к большим искаже-
ниям решения, то такую схему называют неустойчивой. Она непригодна для практики.
Ошибки вычисления можно рассматривать как возмущения начальных данных или правой
части уравнения. Отсюда следует, что от схемы надо требовать, чтобы решение разностной зада-
чи мало менялось при малом изменении входных данных задачи (правой части краевых и на-
чальных условий) или, иными словами, чтобы решение непрерывно зависело от входных данных
при измельчении сетки. Если это требование выполняется, то такая схема называется устойчи-
вой, в противном случае схема неустойчива.
Разностные схемы для нелинейных уравнений теплопроводности (диффузии).
При написании разностных уравнений естественно исходить из уравнения баланса, которые
содержат интегралы от функций и ее производных
()()
[]
()()
[]
()
∫∫∫∫
+−=−
2
1
2
1
2
1
2
1
,,,,,
2112v
x
x
t
t
x
x
t
t
dxdttxfdttxWtxWdxtxTtxTc ,
где
()
txT , – температура,
v
c – объемная теплоемкость,
(
)
txf , – плотность источников тепла;
() () ()
tx
x
T
txktxW ,,,
∂
∂
−=
– тепловой поток;
(
)
Ttxk ,, – коэффициент теплопроводности.
Если существуют непрерывные производные
t
T
∂
∂
и
∂
∂
∂
∂
x
T
k
x
, то из уравнения баланса следует
дифференциальное уравнение теплопроводности
() ()
txf
x
T
txk
xt
T
c ,, +
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
