Компьютерное моделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования. Дворецкий С.И - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
iii
iiiiii
yd
h
yya
h
yya
h
ϕ−=−
−
−
−
−++ 111
1
, (3.25)
где
()
∫
+
−
=
21
21
1
i
i
x
x
i
dxxq
h
d ,
()
∫
+
−
=ϕ
21
21
1
i
i
x
x
i
dxxf
h
.
Метод баланса, таким образом, позволяет получать схемы, коэффициенты которых во всех
узлах сетки вычисляются по одним и тем же формулам как средние значения коэффициентов
дифференциального уравнения в окрестности узла сетки.
Сами схемы (3.25) пишутся одинаково во всех узлах сетки и для любых
() ()
(
)
xfxqxk ,, . Такие
схемы называются однородными. Для практических целей целесообразно находить коэффициен-
ты схемы
ϕ,, da
по более простым формулам, используя значения
fqk ,,
в отдельных точках.
Обычно используют шаблоны из одной или из двух точек, полагая, например,
iiii
i
i
fqdka =ϕ==
−
,,
2
1
,
если
fqk ,,
непрерывны. Если
fqk ,,
разрывны, то в этих формулах следует брать полусумму пре-
дельных значений слева и справа.
Рассмотрим одномерное параболическое уравнение в частных производных с начальными и
граничными условиями, описывающее процессы теплопроводности и диффузии, и обсудим алго-
ритм его решения.
Алгоритм численного решения краевой задачи теплопроводности (диффузии).
Запишем в общем виде одномерное параболическое уравнение.
() () ()( ) ()
utxf
x
u
utxx
x
x
t
u
utxc ,,,,,, +
∂
∂
λν
∂
∂
µ=
∂
∂
, (3.26)
(
)
(
)
xutxu
00
,
=
, (3.27)
() () ()
,
,,,
111
00
0
utuuz
x
u
utxr
xx
x
θ
∂
∂
λ
==
=
−=
() () ()
,
,,,
222
utuuz
x
u
utxr
lxlx
lx
θ
∂
∂
λ
==
=
−=
где
()
txu , – температура (концентрация);
(
)
utx ,,
λ
– коэффициент теплопроводности (диффузии);
()
utxc ,, – объемная теплоемкость;
()
utxf ,, – плотность мощности источников вещества и тепла.
Постановка (3.26) – (3.29) допускает рассмотрение цилиндрических и сферических областей
при наличии радиальной симметрии за счет выбора функций
() ()
xx νµ , (например, при
() ()
xxxx =ν=µ ,1 – получаем цилиндрическую область, а при
(
) ()
22
,1 xxxx =ν=µ – сферическую об-
ласть).
Представление решения нелинейной краевой задачи (3.26) – (3.29) в аналитической форме
возможно лишь в исключительных случаях. Универсальным методом приближенного решения
является метод конечных разностей.
Приступим теперь к построению разностной схемы для краевой задачи (3.26) – (3.29). Пусть n
и m – фиксированные натуральные числа. Введем на отрезке
[
]
l,0 и
[]
T,0 сетки
∑
nx
и
∑
mt
с
(3.29)
(3.28)

Страницы