Компьютерное моделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования. Дворецкий С.И - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Естественно при написании разностных уравнений, приближенно описывающих тот или иной
процесс, исходить из уравнения баланса. Пусть дана сетка ( ihx
i
=
,
τ= jt
j
). Для каждой элементар-
ной ячейки (прямоугольника) этой сетки пишется уравнение баланса, которое содержит интегра-
лы от функции и ее производных вдоль границы ячейки. Для их вычисления необходимо предпо-
ложение о профиле функций. В зависимости от выбора локальной интерполяции как по
x
, так и
по
t
мы получим различные схемы. Вопрос о выборе интерполяции подчинен требованиям ус-
тойчивости, точности и простоты реализации
Для примера рассмотрим стационарное уравнение теплопроводности
() () ( )
0,0;10,,, ≥><<−=−
∂
∂
∂
∂
qkxtxfTxq
x
T
txk
x
,
где
()
Txq – мощность стоков тепла (при
0
≤
q
– источников), пропорциональная температуре
(
)
xT .
Выберем на отрезке 10 ≤≤ x сетку
{
}
1
,0, Niihx
ih
===ω с шагом h . Напишем уравнение баланса
тепла на отрезке
2121 +−
≤≤
ii
xxx
,
()
22
1
1121
h
xxxx
iiii
+=+=
−−−
;
()() ()
∫∫
+
−
+
−
=+−−
+−
21
21
21
21
0
2121
i
i
i
i
x
x
x
x
ii
dxxfdxxTxqWW .
Возьмем простейшую аппроксимацию
i
TT
=
=
const при
2121 +−
≤
≤
ii
xxx
:
() () ()
∫∫
+
−
+
−
=≈
21
21
21
21
1
,
i
i
i
i
x
x
x
x
iii
dxxq
h
dThddxxTxq .
Проинтегрируем равенство
k
W
dx
dT
−=
на отрезке
ii
xxx
≤
≤
−1
∫
−
=−
−
i
i
x
x
ii
dx
k
W
TT
1
1
.
Полагая
21−
==
i
WconstW
при
ii
xxx ≤≤
−1
, будем иметь
()
∫
−
−−
=−
i
i
x
x
iii
xk
dx
WTT
1
211
или
h
TT
aW
ii
ii
1
21
−
−
−
−=
;
()
∫
−
=
i
i
x
x
i
xk
dx
h
a
1
1
1
.
Отметим, что
()
∫
−
i
i
x
x
xk
dx
1
есть тепловое сопротивление отрезка
[
]
ii
xx ,
1−
. Заменяя интеграл по одной
из формул
()
21
11
1
−
≈
∫
−
i
x
x
kxk
dx
h
i
i
,
()
+≈
−
∫
−
ii
x
x
kkxk
dx
h
i
i
11
2
11
1
1
, получим
21−
=
ii
ka
,
ii
ii
i
kk
kk
a
+
=
−
−
1
1
2
и т.д.
В результате получим разностную схему вида:

Страницы