ВУЗ:
Составители:
узлами Tlxxx
mn
=
τ
<
<τ<τ==<<<= ...0,...0
1010
. Эти сетки
∑∑∑
×=
mtnx
nx
mt
определяют сетку в об-
ласти
Π
. Положим mjttnixxh
jjjiii
,1,,,1,
11
=−=τ=−=
−−
. На этой сетке функция
()
txu , аппроксимиру-
ется сеточной функцией
ij
y , определенной в узлах сетки
(
)
ji
tx , .
Примем следующие обозначения:
(
)
ijii
ytxcc ,,
1+
=
;
1+
=
j
ii
yy ;
j
ii
yy =
ˆ
;
()( )
[]
111121
,,,,
2
1
±+±+±
λ+λ=λ
ijiijii
ytxytx ;
()
+
ν=
±νµ=µ
±
22
1
,
1ii
ii
xx
ix
;
(
)
ijii
ytxf ,,
1+
=ϕ
.
Для построения неявной разностной схемы будем использовать четырехточечный шаблон. В
результате получим неявную разностную схему с точностью
(
)
τ+
2
0 h :
i
i
ii
ii
i
ii
iii
iij
ii
i
h
yy
h
yy
hh
yy
c ϕ+
−
λν−
−
λνµ
+
=
τ
−
−
−−
+
+
++
++
1
2121
1
1
2121
11
2
ˆ
, (3.30)
(
)
(
)
0;,1,
00
=== jnixuty
ii
, (3.31)
()
()()
mjytyyz
h
yy
r
yy
C
hr
j
j
≤≤θ−νµ−
−
λνµ=
ϕ+
τ
−
+
+
0,,
ˆ
2
01100100
1
01
2
1
2
1010
1
00
0
11
,
(3.32)
()
()()
njnnnn
n
nn
nn
nn
j
nn
n
n
ytyyz
h
yy
r
yy
C
hr
,
ˆ
2
122
1
1
2
1
2
12
1
12
+
−
−
−−
+
−
θ−νµ−
−
λνµ=
ϕ+
τ
−
. (3.33)
Упростим разностную схему (3.30) – (3.33), предполагая h = const,
const=T :
()
()
()
()
[]
()
1
1
1
11
21
11
1
1
21
2
1
+
+
−
++
−
++
+
+
+
+
ϕ+−λν−−λν
µ
=
τ
−
j
i
j
j
i
j
i
jj
i
j
i
i
j
j
i
i
yyyyyyy
h
yy
c
ii
i
.
(3.34)
Далее полагая, что
(
)
(
)
jj
yy ϕ=ϕλ=λ , , получим схему, линейную относительно
1+j
i
y :
()
()
()
()
[]
()
1
1
1
1
21
11
1
21
2
1
+
+
−
+
−
++
+
+
+
ϕ+−λν−−λν
µ
=
τ
−
j
i
j
j
i
j
i
jj
i
j
i
i
j
j
i
i
yyyyyyy
h
yy
c
ii
i
.
(3.35)
Решение разностной краевой задачи для
1+j
i
y находится методом прогонки [12].
Разностная схема (3.34) нелинейна относительно
1+j
i
y . Для решения получающейся системы
нелинейных уравнений применяются итерационные методы.
Преобразуем разностную схему (3.34), вводя обозначения:
τϕ+=++=
λ
τ
=
+
i
s
j
i
i
s
i
s
i
s
i
ss
i
i
s
yyFAABy
h
A ;1;
1
2
, где ... ,2,1,0
=
s – номер итерации.
В результате получим систему нелинейных алгебраических уравнений вида
i
s
i
s
i
s
i
s
i
s
i
s
i
s
FyAyByA −=+−
+
+
+
+
−
+
1
1
1
1
1
1
. (3.36)
В качестве нулевого приближения обычно берут значение
j
i
y с предыдущего временного слоя
j
i
i
yy =
0
.
с
с
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
