Компьютерное моделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования. Дворецкий С.И - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Этот оператор определен на шаблоне, состоящем из четырех точек
(
)
1
,
+ji
tx
,
(
)
ji
tx ,
,
(
)
ji
tx ,
1−
,
(
)
ji
tx ,
1+
(рис. 3.13, а).
Оператор
τ
h
L определен не во всех узлах
τ
ω
h
, а только при Ni
<
<
0 и 0>j , т.е. во внутренних
узлах. В остальных узлах, называемых граничными, должны быть заданы начальные и
краевые
(i-1, j)
(i+1, j) (i, j)
(i, j)
(i, j+1) (i, j+1) (i-1, j+1) (i+1, j+1)
б) а)
σ
=0
Рис. 3.13 Четырехточечный шаблон
условия. Оператор
τh
L имеет первый порядок аппроксимации по
τ
и второй по h
()
()
τ+=−
τ
ω
τ
2
0
max
hLuuL
j
i
j
ih
h
.
Аппроксимируем этот же оператор Lu на шаблоне вида (рис. 3.13, б)
В результате получим оператор
2
1
1
1
1
1
1
1
2
h
uuu
uu
uL
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
ih
+
+
+
+
−
+
+
τ
+−
−
τ
−
=
,
аппроксимирующий Lu с тем же порядком точности, что и предыдущий оператор.
Рассмотрим пример постановки разностной задачи для уравнения теплопроводности
()
k
ttxtxf
x
T
t
T
<<<<+
∂
∂
=
∂
∂
0,10,,
2
2
;
()()
10,0,
0
≤≤= xxTxT ;
() () ()
(
)
k
ttttTttT
≤
≤
µ
=
µ= 0,,1;,0
21
.
Введем равномерную сетку
()
{
}
21
,0;,0,, NjNijtihx
jih
==τ===ω
τ
и запишем соответствующую разно-
стную краевую задачу
0,0,
2
1
2
11
1
><<ϕ+
+−
=
τ
−
+
+−
+
jNi
h
yyy
yy
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
()
ii
xTy
0
0
=
;
()
;
1
0
j
j
ty µ=
()
,
2 j
j
N
ty µ=
где
(
)
ji
j
i
txf ,
1
=ϕ
+
.
Определим
1+j
i
y :
()
(
)
1
11
1
21
+
+−
+
τϕ++γ+γ−=
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
yyyy , где
2
hτ=γ .
Если
j
i
y известно, то по этой формуле можно определить
1+j
i
y во всех узлах 1.,..,2,1
1
−
= Ni (на
слое
1+j
). Так как при
0=j
задано начальное условие
(
)
,
0
0
ii
xTy =
то последняя формула позволяет
определить от слоя к слою значения
1+j
i
y во всех внутренних узлах сетки
τ
ω
h
, используя при этом
краевые условия. В этом случае полученная разностная схема называется явной.
Если выбрать другой шаблон, то разностная краевая задача примет вид

Страницы