ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
( ) ( )( )
21
0
2
21
0
2
−ϕ=
=
∑∑
==
m
i
i
m
i
i
iyxr
E
r
или
(
)
(
)
iyxrr
i
mi
i
mi
C
−ϕ==
≤≤≤≤ 00
maxmax
.
Задача о наилучшем приближении экспериментальных данных
(
)
iy
состоит в нахождении коэффициентов
с
0
,
с
1
, …,
с
n
,
минимизирующих норму вектора
r
. В зависимости от выбора нормы получим решение задачи. Так, норма
E
r
соответству-
ет задаче о наилучшем среднеквадратичном приближении, а норма
C
r
– задаче о наилучшем равномерном приближении
экспериментальных данных.
Пример 2.1.
Построим наилучшее среднеквадратичное приближение для случая линейного приближения
n =
1,
m
= 2,
когда заданы
2,1,0),()( == iiyxf
i
. Обозначим
h
0
=
121010
, xxhxxh −=−=
и будем искать обобщенный многочлен
)( x
ϕ
в
виде
)()(
110
xxccx −+=ϕ
.
Тогда для
yxxr −ϕ= )()(
получим, что
),,(Ф
10
2
ccr
Е
=
где
2
110
2
0
2
01010
))2(())1(())0((),(Ф yhccycyhcccc −++−+−−=
.
Коэффициенты
10
,
сс
определяются из условия
),(Фmin
10
,
10
cc
cc
. (2.1)
Метод определения коэффициентов обобщенного многочлена из условия (2.1) называют
методом наименьших квадра-
тов.
Точку минимума
),(Ф
10
cc
найдем из условия (в данном случае необходимого и достаточного)
,0
Ф
,0
Ф
10
=
∂
∂
=
∂
∂
сс
которое приводит к системе линейных алгебраических уравнений:
).0()2()()(
),2()1()0()(3
011
2
1
2
0001
1010
yhyhchhchh
yyychhc
−=++−
++=−+
Отсюда получаем:
,
)0()1(
)1(
)1()2(
),2()1()1()0(
01
1
22000
h
yy
h
yy
c
yyyc
−
β−+
−
β=
α+α−α−+α=
(2.2)
где
,
)(2
)(
01
2
1
2
0
101
0
hhhh
hhh
++
+
=α
)(2
)(
01
2
1
2
0
100
2
hhhh
hhh
++
+
=α
и
)(2
)2(
01
2
1
2
0
011
hhhh
hhh
++
+
=β
.
Если
hhh ==
10
, то
h
yy
cyyyc
2
)0()2(
)),2()1()0((
3
1
10
−
=++=
. (2.3)
Погрешность полученного приближения на равномерной сетке имеет второй порядок по
h
, т.е.
)(
6
2
ξ
′′
=ϕ− f
h
f
,
где
),(
20
xx∈ξ
.
Многомерные задачи
. Решение многомерных задач часто сводится к следующему. В некоторой области пространства
X
заданы точки
n
xxx ,...,,
21
и значения функции
(
)
xf
в этих точках. Требуется получить приближение к значению функции
)(xf
.
Простейшим способом решения этой задачи является способ неопределенных коэффициентов. Пусть из каких-то сооб-
ражений нам известно, что функция
)(xf
хорошо приближается линейными комбинациями:
∑
=
ϕ
n
i
ii
xc
1
)(
.
Потребуем, чтобы такая линейная комбинация совпадала с
yxf
=
)(
в заданных узлах:
∑
=
==ϕ
n
i
jii
njjyxc
1
,...,1),()(
.
Предположим, что для матрицы
)(
ji
xϕ
0)(det ≠ϕ
ji
x
. Тогда матрица
)(
ji
xϕ
имеет обратную
ij
aA =
и решение запи-
сывается в виде:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
