ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
∑
=
=
n
j
iji
jyac
1
)(
.
Функция
∑
=
ϕ=
n
i
ii
xcxg
1
)()(
совпадает с
)(xf
в точках
j
x
. Подставляя
с
i
в последнее выражение, получим
∑
=
=
n
i
i
iyxzxg
1
),()()(
где
)()(
1
xaxz
j
n
j
iji
ϕ=
∑
=
.
Такая форма записи интерполяционной функции является аналогом записи интерполяционного многочлена в форме Ла-
гранжа.
Повышение качества приближения может достигаться различными способами, например методом наименьших квадра-
тов. В этом случае приближающая функция ищется в виде
∑
=
ϕ=
m
i
ii
xcxg
1
)()(
, (2.4)
где
m<<n
.
Коэффициенты
i
c
будем определять из условия:
),...,,(Фmin
21
,...,,
21
m
ccc
ccc
m
,
где
2
1 1 1
2
)()())()(()(Ф)(Ф
∑ ∑ ∑
= = =
−ϕγ=−γ==
n
j
n
j
m
i
jiijjj
jyxcjyxgcg
;
j
γ
– весовые множители.
В основе метода регуляризации лежат соображения о сглаживании аппроксимирующей функции. Наиболее распростра-
ненной формой метода регуляризации является следующая. Приближение отыскивается в виде (2.4), а коэффициенты
i
c
вы-
бираются из условия минимума выражения:
),()(Ф),(Ф ggg
βψ
+
=
β
(2.5)
где β – параметр регуляризации, β > 0.
Функционал
)(g
ψ
подбирается из следующего условия: если значение этого функционала невелико, то функция
g
об-
ладает определенной гладкостью. Например,
)(g
ψ
может быть некоторым приближением к интегралу
∫
X
dxxg
2
))((grad
.
Пусть минимум Ф
),( g
β
достигается при некоторых
βββ
n
ccc ,...,,
21
и
∑
=
ββ
ϕ=
n
i
ii
xcxg
1
)()(
.
Рассмотрим крайние случаи
0
=
β
и
∞
→
β
. Для Ф(0,
g
) имеет место равенство
∑ ∑
= =
−ϕγ=
n
j
ji
n
i
ij
jyxcg
1
2
1
)()(),0(Ф
. (2.6)
Если
0)(det ≠ϕ
ji
x
, то система
njjyxc
n
i
jii
,...,2,1),()(
1
==ϕ
∑
=
имеет решение, и правая часть равенства (2.6) обращает-
ся в нуль. Тогда
( )
xg
0
совпадает с интерполяционным многочленом в узлах интерполяции
j
x
. При больших β в функциона-
ле (2.5) определяющим является второе слагаемое, нижняя грань которого достигается на гладкой функции. Следовательно,
есть все основания утверждать, что при промежуточных значениях β функции
)(xg
β
будут гладкими и в то же время не
очень сильно отличающимися от приближаемой функции в заданных узлах.
Приближение функций с помощью нейронных сетей.
В последние годы появился новый алгоритмический аппарат при-
ближения функций многих переменных с помощью линейных операций и суперпозиций функций одного переменного. Та-
кое приближение осуществляется специальными формальными устройствами –
нейронными сетями
, состоящими из фор-
мальных
нейронов
.
Нейрон получает на входе вектор сигналов
x
, вычисляет его скалярное произведение на вектор весов
α
и некоторую
функцию одного переменного
)( z
ϕ
, где
z
– скалярное произведение
x
на
α
. Результат рассылается на входы других нейро-
нов или передается на выход. Таким образом, нейронные сети вычисляют суперпозиции простых функций одного перемен-
ного и их линейных комбинаций.
Для описания алгоритмов и устройств в теории нейронных сетей выработана специальная схемотехника, в которой эле-
ментарные устройства – сумматоры, синапсы, нейроны и т.п. – объединяются в сети, предназначенные для решения различ-
ных задач. Наиболее важные элементы нейросистем –
адаптивный сумматор
и
нелинейный преобразователь
. Адаптивный
сумматор вычисляет скалярное произведение входного сигнала
x
на вектор параметров
α
(рис. 2.3).
Адаптивным его называют из-за наличия вектора настраиваемых параметров
α
. Нелинейный преобразователь получает
скалярный входной сигнал
z
и переводит его в
)(z
ϕ
(рис. 2.4).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
