ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
600
т
=k
Вт/м
2
·К, длина теплообменника – 1,5 м, параметры ячеечной и диффузионной модели:
4
т
1054,3,3
−
⋅== Dn
м
2
/с.
На рис. 2.13 приведены результаты расчета температурного профиля по длине теплообменника.
Они свидетельствуют о значительном разбросе температур для различных моделей гидродинамики. Более реальный ха-
рактер изменения температуры по длине теплообменника отражают ячеечная и диффузионная модели. При этом конечные
температуры для данных моделей практически совпадают, но, тем не менее, профили температур различаются существенно.
Приведенный пример подчеркивает важность учета реальной структуры потока в аппарате и его адекватного описания
гидродинамическими моделями.
Вывод уравнения теплопроводности.
Для простоты будем рассматривать одномерные процессы теплопроводности. Они
имеют место, например, в длинном тонком металлическом стержне, нагреваемом с одного из торцов при условии, что стер-
жень изотропен. Его начальная температура в любом поперечном сечении не зависит от
z
y
,
(это условие должно выпол-
няться и на торцах стержня), а потерями тепла с боковой поверхности можно пренебречь.
Рассмотрим произвольное сечение стержня с координатой
x
. Пусть
(
)
(
)
(
)
xxcx
p
λ
ρ
,,
–
соответственно плотность,
удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности в точках этого сечения. Запишем уравнение распространения этого
тепла в стержне (уравнение теплопроводности) на некотором отрезке
(
)
21
, xx
за некоторый промежуток времени
(
)
21
, tt
,
применяя закон сохранения энергии (в интегральной форме):
[ ]
.),(),(
),(),(),(
2
1
2
1
2
1
2
1
12
12
ξξ−ξρ=
=τξτξ+τ
τξ
∂
∂
λ−τξ
∂
∂
λ
∫
∫∫∫
==
dtTtTc
ddFd
x
T
x
T
x
x
p
x
x
t
t
t
t
xxxx
Предположим, что функция
),( txT
имеет непрерывные производные
t
T
T
t
∂
∂
=
и
2
2
x
T
T
xx
∂
∂
=
.
Пользуясь теоремой о среднем, получаем равенство
[ ]
{ }
,),(),(
),(),(),(
3
444
3
12
12
,44
xtTtTc
txtFt
x
T
x
T
x
p
tx
t
xx
∆ξ−ξρ=
=∆∆ξ+∆
τξ
∂
∂
λ−τξ
∂
∂
λ
=ξ
=τ=ξ
=τ
=ξ=ξ
которое при помощи теоремы о конечных приращениях можно преобразовать к виду:
tx
t
T
ctxtxFtx
x
T
x
t
x
p
t
x
∆∆
∂
∂
ρ=∆∆+∆∆
τξ
∂
∂
λ
∂
∂
=τ
=ξ
=τ
=ξ
5
3
3
5
),(),(
44
,
где
543
,, ttt
и
543
,, xxx
– промежуточные точки интервалов
(
)
21
, xx
и
(
)
21
, tt
.
Отсюда после сокращения на произведение
tx
∆
∆
получим:
( )
t
T
c
txF
x
T
x
p
xx
tt
tt
xx
tt
xx
∂
∂
ρ
=+
∂
∂
λ
∂
∂
=
=
=
=
=
=
3
5
4
4
3
5
,
.
Все
эти
рассуждения
относятся
к
произвольным
промежуткам
(
)
21
, xx
и
(
)
21
, tt
.
Переходя
к
пределу
при
xxx →
21
,
и
ttt →
21
,
,
получим
уравнение
t
T
ctxF
x
T
x
p
∂
∂
ρ=+
∂
∂
λ
∂
∂
),(
,
которое
называется
уравнением
теплопроводности
.
Частные случаи.
1.
Если
стержень
однороден
,
то
ρ,
c
p
,
λ
= const,
и
мы
получаем
линейное
уравнение
теплопроводности
),(
2
txfTaT
xxt
+=
,
где
ρ
λ
=
p
c
a
2
–
коэффициент
температуропроводности
;
ρ
=
p
c
txF
txf
),(
),(
.
Если
источники
отсутствуют
,
т
.
е
.
0),( =txF
,
то
уравнение
теплопроводности
примет
вид
:
xxt
TaT
2
=
,
2.
В
случае
теплообмена
с
окружающей
средой
,
подчиняющегося
закону
Ньютона
,
количество
тепла
,
теряемого
стержнем
,
рассчитываемого
на
единицу
длины
и
времени
,
равно
)(
0
θ−α= TF
,
где
(
)
tx,θ
–
температура
окружающей
среды
;
α
–
коэффициент
теплообмена
.
Поскольку
в
нашем
приближении
не
учитывается
распределение
температуры
по
сечению
,
то
действие
поверхностных
источников
эквивалентно
действию
объемных
источников
тепла
.
Таким
образом
,
плотность
тепловых
источников
в
точке
x
в
момент
времени
t
равна
)(),(
1
θ−α−= TtxFF
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
