ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
где
),(
1
txF
– плотность других источников тепла.
Если стержень однороден, то уравнение теплопроводности с боковым теплообменом имеет следующий вид:
),(
1
2
txfThTaT
xxt
+−=
,
где
ρ
α
=
p
c
h
1
;
ρ
+θ⋅=
p
c
txF
txhtxf
),(
),(),(
1
1
– известная функция.
3. Коэффициенты
p
c
и λ, как правило, являются медленно меняющимися функциями температуры, поэтому сделан-
ное выше предположение о постоянстве этих коэффициентов возможно лишь при рассмотрении небольших интервалов из-
менения температуры.
Изучение процесса теплопроводности в большом интервале изменения температур приводит к нелинейному уравнению
теплопроводности, которое для неоднородной среды запишется в виде
( )
t
T
xTxTctxF
x
T
xT
x
p
∂
∂
ρ=+
∂
∂
λ
∂
∂
),(),(),(,
. (2.7)
Для получения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить началь-
ные и граничные условия.
Начальное условие состоит в задании значений функции
),( txT
в начальный момент
0
t
, т.е.
lxxTtxT ≤≤= 0),(),(
0
.
Граничные условия могут быть различными в зависимости от температурного режима на торцах стержня. Рассматри-
вают три основных типа граничных условий.
1. На торцах стержня в любой момент времени задается температура:
0);(),();(),0(
21
>== ttTtlTtTtT
.
2. На торцах стержня задаются потоки теплоты как функции времени:
( ) ( )
)(,);(,0
21
ttlT
x
ttT
x
ν=
∂
∂
ν=
∂
∂
.
К
этим
условиям
мы
приходим
,
если
задана
величина
теплового
потока
),( tlQ
,
протекающего
через
торцевое
сечение
стержня
( )
tlT
x
tlQ ,),(
∂
∂
λ−=
,
откуда
( )
)(, ttlT
x
ν=
∂
∂
,
где
)(t
ν
–
известная
функция
,
выражающаяся
через
заданный
поток
),( tlQ
по
формуле
λ
−=ν
),(
)(
tlQ
t
.
3.
На
торцах
стержня
задаются
линейные
соотношения
между
производной
и
функцией
,
например
,
для
lx =
:
[ ]
)(),(),(
2
ttlThtlT
x
θ−−=
∂
∂
.
Это
граничное
условие
соответствует
теплообмену
по
закону
Ньютона
на
поверхности
тела
с
окружающей
средой
,
тем
-
пература
которой
θ
известна
.
Пользуясь
двумя
выражениями
для
теплового
потока
,
вытекающего
через
сечение
lx =
:
(
)
θ−α= TQ
и
x
T
Q
∂
∂
λ−=
по
-
лучаем
математическую
формулировку
третьего
граничного
условия
в
виде
:
[ ]
)(),(),(
2
ttlThtlT
x
θ−−=
∂
∂
,
где
λα= /
2
h
–
коэффициент
теплообмена
,
(
)
tθ
–
некоторая
заданная
функция
.
Возможны
также
и
иные
виды
краевых
условий
,
соответствующие
иным
физическим
ситуациям
.
Разумеется
,
допусти
-
мы
различные
комбинации
условий
,
например
,
на
левом
конце
стержня
известна
температура
,
а
на
правом
–
поток
тепла
и
т
.
д
.
Более
сложный
(
нелинейный
)
вариант
условий
на
торцах
отвечает
сильно
нагретому
и
поэтому
излучающему
энергию
стержню
,
не
контактирующему
с
какими
-
либо
телами
.
Тогда
в
единицу
времени
стержень
теряет
на
своих
границах
(
торцах
)
энергию
,
равную
),0(
4
tTσ
и
),(
4
tlTσ
соответственно
.
В
результате
получаются
условия
:
0,
)(
),(,
)(
),0(
4
0
4
>
∂
∂
λ
−=σ
∂
∂
λ
=σ
==
t
x
T
T
tlT
x
T
T
tT
lxx
.
Вывод уравнения диффузии.
Если
среда
неравномерно
заполнена
газом
,
то
имеет
место
диффузия
его
из
мест
с
более
высокой
концентрацией
в
места
с
меньшей
концентрацией
.
Это
же
явление
имеет
место
и
в
растворах
,
если
концентрация
растворенного
вещества
в
объеме
не
постоянна
.
Рассмотрим
процесс
диффузии
в
полой
трубке
или
в
трубке
,
заполненной
пористой
средой
,
предполагая
,
что
во
всякий
момент
времени
концентрация
газа
(
раствора
)
по
сечению
трубки
одинакова
.
Тогда
процесс
диффузии
может
быть
описан
функцией
),( txc
,
представляющей
концентрацию
в
сечении
x
в
момент
времени
t
.
Согласно
закону
Нернста
,
масса
газа
,
протекающая
через
сечение
x
за
промежуток
времени
),( ttt ∆+
,
равна
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
