ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
WSdtSdttx
с
x
Dd
с
=
∂
∂
−= ),(
,
x
с
DW
∂
∂
−=
,
где
D
– коэффициент диффузии;
S
– площадь сечения трубки;
),( txW
– плотность диффузионного потока, равная массе
газа, протекающего в единицу времени через единицу площадки.
По определению концентрации, количество газа в объеме
V
равно
сV
G
=
.
Отсюда получаем, что изменение массы газа на участке трубки
),(
21
xx
при изменении концентрации на
с
∆
равно
∫
∆ε=∆
2
1
)(
x
x
сSdx
xG
,
где
)(xε
– коэффициент пористости.
При выводе уравнения диффузии будем считать, что в трубке нет источников вещества, и диффузия через стенки труб-
ки отсутствует.
Составим уравнение баланса массы газа на участке
),(
21
xx
за промежуток времени
),(
21
tt
:
( ) ( ) ( )
[ ]
ξξ−ξξε=τ
τ
∂
∂
−τ
∂
∂
∫∫
dt
с
t
с
Sdx
с
x
xDx
с
x
xDS
x
x
t
t
122122
,,),()(),()(
2
1
1
1
.
Отсюда, подобно выводу уравнения теплопроводности, получим уравнение
t
с
x
с
D
x ∂
∂
ε=
∂
∂
∂
∂
, (2.8)
являющееся уравнением диффузии. Оно вполне аналогично уравнению теплопроводности.
Если коэффициент диффузии постоянен
const
=
D
, то уравнение диффузии принимает вид:
xxt
с
a
с
2
=
,
где
ε= Da
2
.
Если коэффициент пористости
1
=
ε
, а коэффициент диффузии постоянен, то уравнение диффузии имеет вид
xxt
D
сс
=
.
Для получения единственного решения уравнения диффузии необходимо к уравнению присоединить начальные и гра-
ничные условия.
При переходе к дискретным моделям теплопроводности и диффузии
область непрерывного изменения аргументов (
x
и
t
) заменяется конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой. Вместо функции непрерывного аргу-
мента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями.
Производные, входящие в дифференциальные уравнения, заменяются (аппроксимируются) при помощи соответствующих
разностных соотношений. В результате дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических (разностных)
уравнений. Начальные и краевые условия также заменяются разностными начальными и краевыми условиями.
Естественно требовать, чтобы полученная таким образом разностная краевая задача была разрешима и ее решение при
увеличении числа
N
узлов сетки приближалось (сходилось) к решению исходной задачи.
Пусть область изменения аргументов
),( tx
есть прямоугольник
(
)
Ttx ≤≤≤≤Π 0,10 . Построим на отрезке
10
≤
≤
x
сетку
{
}
1
...,,1,0, Niihx
i
== с шагом
1
1 Nh = и сетку
{
}
2
...,,1,0, Njjt
j
=
τ
=
с шагом
2
NT=τ на отрезке
Tt
≤
≤
0
.
Множество узлов
),(
ji
tx
с координатами ihx
i
= и
τ
=
jt
j
назовем сеткой в прямоугольнике
Π
и обозначим через
τ
ω
h
сетку
(
)
{
}
21
,0;,0,, NjNijtihx
ji
==τ==
.
Эта
сетка
равномерна
по
каждой
из
переменных
x
и
t
.
Пусть
Y
–
сеточная
функция
,
заданная
на
τ
ω
h
.
Будем
обозначать
(
)
ji
j
i
txYY ,=
значение
сеточной
функции
Y
в
узле
),(
ji
tx
сетки
τ
ω
h
.
Непрерывной
функции
(
)
txT ,
или
(
)
tx
с
,
,
где
(
)
Π∈tx,
,
будем
ставить
в
соответствие
сеточную
функ
-
цию
(
)
(
)
jiji
j
i
tx
с
txTY ,, ∨=
.
Рассмотрим
теперь
производную
x
ϑ
′
функции
x
ϑ
.
Заменить
ее
разностным
выражением
можно
бесчисленным
множест
-
вом
способов
.
Простейшими
являются
замены
вида
:
ih
ii
x
L
h
ϑ=
ϑ−ϑ
′
ϑ
−
−1
~
–
левая
разностная
производная
(
левое
разностное
отношение
);
ih
ii
x
L
h
ϑ=
ϑ−ϑ
′
ϑ
+
+1
~
–
правая
разностная
производная
ih
ii
x
L
h
ϑ=
ϑ−ϑ
′
ϑ
−+
0
11
2
~
–
центральная
разностная
произ
-
водная
,
где
знак
~
означает
соответствие
или
аппроксимацию
.
Обращаясь
к
формулам
для
±
h
L
,
видим
,
что
ϑ
−
h
L
и
ϑ
+
h
L
аппроксимируют
ϑ
′
=ϑL
с
первым
порядком
точности
.
Выраже
-
ния
для
ϑ
−
h
L
содержат
значения
ϑ
в
двух
узлах
i
xx =
и
1−
=
i
xx
сетки
.
Говорят
,
что
оператор
ϑ
−
h
L
является
двухточечным
или
оператором
первого
порядка
.
Множество
узлов
,
значения
сеточной
функции
в
которых
входят
в
выражение
ϑ
h
L
,
называют
шаблоном
оператора
h
L
в
точке
i
x
.
Очевидно
,
что
шаблон
оператора
−
h
L
состоит
из
узлов
i
x
и
1−i
x
,
а
шаблон
ϑ
+
h
L
–
из
узлов
i
x
и
1+i
x
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
