ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Возьмем теперь трехточечный оператор, определенный на шаблоне
1−i
x
,
i
x
,
1+i
x
:
( )
( )
(
)
(
)
h
LLL
iii
ihihi
h
11
121
1
−+
−+σ
ϑσ−−ϑσ−+σϑ
=ϑσ−+ϑσ=ϑ
,
где
σ
– произвольное число. В частности при
2
1
=σ
получаем центральную разностную производную
0
h
L
, которая аппрок-
симирует
(
)
xϑ
′
со вторым порядком.
Рассмотрим теперь вторую производную
ϑ
′
′
=ϑL
. Выберем трехточечный шаблон, состоящий из узлов
1−i
x
,
i
x
,
1+i
x
, и
рассмотрим разностный оператор
( )
2
11
11
21
h
h
hh
LL
h
L
iii
iiii
ihihi
h
−+
−+
−+
ϑ+ϑ−ϑ
=
ϑ−ϑ
−
ϑ−ϑ
=ϑ−ϑ=ϑ
.
На
практике
аппроксимация
производных
на
многоточечных
шаблонах
используется
редко
,
так
как
при
увеличении
шаблона
обычно
увеличивается
объем
вычислительной
работы
и
ухудшается
качество
получающихся
разностных
операто
-
ров
(
в
смысле
устойчивости
).
Рассмотрим
более
сложный
оператор
t
u
t
u
Lu
∂
∂
−
∂
∂
=
2
,
где
(
)
txuu ,=
–
функция
двух
аргументов
x
и
t
,
меняющаяся
в
области
(
)
Ttx ≤≤≤≤Π 0,10
.
Введем
сетку
(
)
{
}
21
,0;,0,, NjNijtihx
ji
==τ==
с
шагами
1
1 Nh =
;
2
NT=τ
.
Произведем
за
-
мену
:
1
,
1
~
+
+
=
τ
−
∂
∂
j
it
j
i
j
i
u
uu
t
u
;
j
ixx
j
i
j
i
j
i
u
h
uuu
t
u
,
2
11
2
2
2
~ =
+−
∂
∂
+−
.
В
результате
получим
разностный
оператор
2
11
1
1
2
h
uuu
uu
uL
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
ih
+−
+
+
τ
+−
−
τ
−
=
.
Этот
оператор
определен
на
шаблоне
,
состоящем
из
четырех
точек
(
)
1
,
+ji
tx
,
(
)
ji
tx ,
,
(
)
ji
tx ,
1−
,
(
)
ji
tx ,
1+
(
рис
. 2.14,
а
).
Оператор
τh
L
определен
не
во
всех
узлах
τ
ω
h
,
а
только
при
Ni
<
<
0
и
0
>
j
,
т
.
е
.
во
внутренних
узлах
.
В
остальных
уз
-
лах
,
называемых
граничными
,
должны
быть
заданы
начальные
и
краевые
условия
.
Оператор
τh
L
имеет
первый
порядок
ап
-
проксимации
по
τ
и
второй
по
h
:
( )
(
)
τ+=−
τ
ω
τ
2
0
max
hLuuL
j
i
j
ih
h
.
Аппроксимируем
этот
же
оператор
Lu
на
шаблоне
,
показанным
на
рис
. 2.14,
б
.
В
результате
получим
оператор
2
1
1
11
1
1
1
2
h
uuu
uu
uL
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
ih
+
+
++
−
+
+
τ
+−
−
τ
−
=
,
аппроксимирующий
Lu
с
тем
же
порядком
точности
,
что
и
предыдущий
оператор
.
Пример 2.4
.
Рассмотрим
постановку
разностной
задачи
для
уравнения
теплопроводности
:
( )
k
ttlxtxf
x
T
t
T
<<<<+
∂
∂
=
∂
∂
0,0,,
2
2
;
(
)
(
)
lxxTxT ≤≤= 0,0,
0
;
(
)
(
)
(
)
(
)
k
ttttlTttT ≤≤µ=µ= 0,,;,0
21
.
Введем
равномерную
сетку
(
)
{
;,0,,
1
Nijtihx
jih
=τ===ω
τ
}
2
,0 Nj =
и
запишем
соответствующую
разностную
краевую
задачу
:
0,0,
2
1
2
11
1
><<ϕ+
+−
=
τ
−
+
+−
+
jNi
h
yyy
yy
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
;
( )
,
0
0
ii
xTy =
;
(
)
;
1
0
j
j
ty µ=
(
)
,
2
j
j
N
ty µ=
где
( )
ii
j
i
txf ,
1
=ϕ
+
.
Определим
1+j
i
y
:
( )
(
)
1
11
1
21
+
+−
+
τϕ++γ+γ−=
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
yyyy
,
где
2
hτ=γ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
